Question

Los vértices de un triángulo rectángulo $3$ – $4$ – $5$ son los centros de tres circunferencias tangentes exteriormente entre sí, como se muestra. ¿Cuál es la suma de las áreas de estas circunferencias?

The vertices of a $3$ – $4$ – $5$ right triangle are the centers of three mutually externally tangent circles, as shown. What is the sum of the areas of these circles?

$12\pi$

$\dfrac{25\pi}{2}$

$13\pi$

$\dfrac{27\pi}{2}$

$14\pi$

Solución:

Si $r, s, t$ son los radios en los vértices, entonces $r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5.$ Sumando las tres da $r + s + t = 6,$ así que $r = 1,\ s = 2,\ t = 3.$

La suma de las áreas es $\pi(1^2 + 2^2 + 3^2) = 14\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $r, s, t$ are the radii at the vertices, then $r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5.$ Adding all three gives $r + s + t = 6,$ so $r = 1,\ s = 2,\ t = 3.$

The sum of the areas is $\pi(1^2 + 2^2 + 3^2) = 14\pi.$

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años