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2012 AMC 12A Problema 13

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 13 del 2012 AMC 12A, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:tasasistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1810

13.

Paula la pintora y sus dos ayudantes pintan cada uno a un ritmo constante, pero diferente. Siempre comienzan a las 8:00 AM y los tres siempre tardan lo mismo en almorzar. El lunes los tres pintaron el 50%50\% de una casa y terminaron a las 4:00 PM. El martes, cuando Paula no estaba, los dos ayudantes pintaron solo el 24%24\% de la casa y terminaron a las 2:12 PM. El miércoles Paula trabajó sola y terminó la casa trabajando hasta las 7:12 PM. ¿Cuántos minutos duraba el descanso para almorzar cada día?

Paula the painter and her two helpers each paint at constant, but different, rates. They always start at 8:00 AM and all three always take the same amount of time to eat lunch. On Monday the three of them painted 50%50\% of a house, quitting at 4:00 PM. On Tuesday, when Paula wasn't there, the two helpers painted only 24%24\% of the house and quit at 2:12 PM. On Wednesday Paula worked by herself and finished the house by working until 7:12 PM. How long, in minutes, was each day's lunch break?

3030

3636

4242

4848

6060

Solución:

Sea mm la duración del almuerzo en minutos. Los tres trabajaron 480−m480 - m minutos el lunes, los ayudantes 372−m372 - m minutos el martes, y Paula 672−m672 - m minutos el miércoles.

Si Paula pinta p%p\% por minuto y los ayudantes juntos pintan h%h\% por minuto, entonces (p+h)(480−m)=50,h(372−m)=24,p(672−m)=26. \begin{aligned} (p+h)(480-m) &= 50, \\ h(372-m) &= 24, \\ p(672-m) &= 26. \end{aligned}

Sumar las dos últimas ecuaciones y restarlas de la primera da 108h−192p=0,108h - 192p = 0, así que h=169p.h = \tfrac{16}{9}p. Al resolver el sistema se obtiene p=124p = \tfrac{1}{24} y m=48.m = 48.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let mm be the lunch length in minutes. The three worked 480−m480 - m minutes Monday, the helpers 372−m372 - m minutes Tuesday, and Paula 672−m672 - m minutes Wednesday.

If Paula paints p%p\% per minute and the helpers together paint h%h\% per minute, then (p+h)(480−m)=50,h(372−m)=24,p(672−m)=26. \begin{aligned} (p+h)(480-m) &= 50, \\ h(372-m) &= 24, \\ p(672-m) &= 26. \end{aligned}

Adding the last two equations and subtracting from the first gives 108h−192p=0,108h - 192p = 0, so h=169p.h = \tfrac{16}{9}p. Solving the system gives p=124p = \tfrac{1}{24} and m=48.m = 48.

Thus, the correct answer is D.

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El Problema 13 en otros años

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