Question

Los ángulos internos del cuadrilátero $ABCD$ forman una progresión aritmética. Los triángulos $ABD$ y $DCB$ son semejantes, con $\angle DBA = \angle DCB$ y $\angle ADB = \angle CBD.$ Además, los ángulos de cada uno de estos dos triángulos también forman una progresión aritmética. En grados, ¿cuál es la mayor suma posible de los dos ángulos más grandes de $ABCD$ ?

The internal angles of quadrilateral $ABCD$ form an arithmetic progression. Triangles $ABD$ and $DCB$ are similar with $\angle DBA = \angle DCB$ and $\angle ADB = \angle CBD.$ Moreover, the angles in each of these two triangles also form an arithmetic progression. In degrees, what is the largest possible sum of the two largest angles of $ABCD?$

$210$

$220$

$230$

$240$

$250$

Solución:

Los ángulos de un triángulo forman una progresión aritmética exactamente cuando el del medio es $60^\circ.$ Con $\angle DBA = x$ y $\angle ADB = y,$ los cuatro ángulos de $ABCD$ son $x, y, 180 - y, 180 - x,$ que a su vez deben formar una progresión aritmética. Combinado con un ángulo de $60^\circ$ en los triángulos, esto obliga a que $x = 60$ o $x + y = 120.$ Analizando los casos, los conjuntos de ángulos posibles son $(60, 80, 100, 120)$ y $(45, 75, 105, 135).$ Los dos ángulos más grandes suman a lo sumo $105 + 135 = 240.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The angles of a triangle form an arithmetic progression exactly when the middle one is $60^\circ.$ With $\angle DBA = x$ and $\angle ADB = y,$ the four angles of $ABCD$ are $x, y, 180 - y, 180 - x,$ which must itself be an arithmetic progression. Combined with a $60^\circ$ angle in the triangles, this forces either $x = 60$ or $x + y = 120.$ Working through the cases, the possible angle sets are $(60, 80, 100, 120)$ and $(45, 75, 105, 135).$ The two largest angles sum to at most $105 + 135 = 240.$ Thus, the correct answer is D.

2013 AMC 12B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años