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2013 AMC 12B Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2013 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

Los ángulos internos del cuadrilátero ABCDABCD forman una progresión aritmética. Los triángulos ABDABD y DCBDCB son semejantes, con ∠DBA=∠DCB\angle DBA = \angle DCB y ∠ADB=∠CBD.\angle ADB = \angle CBD. Además, los ángulos de cada uno de estos dos triángulos también forman una progresión aritmética. En grados, ¿cuál es la mayor suma posible de los dos ángulos más grandes de ABCDABCD?

The internal angles of quadrilateral ABCDABCD form an arithmetic progression. Triangles ABDABD and DCBDCB are similar with ∠DBA=∠DCB\angle DBA = \angle DCB and ∠ADB=∠CBD.\angle ADB = \angle CBD. Moreover, the angles in each of these two triangles also form an arithmetic progression. In degrees, what is the largest possible sum of the two largest angles of ABCD?ABCD?

210210

220220

230230

240240

250250

Respuesta: D
Conceptos:sucesión aritméticapersecución de ángulosanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1700
Pista pequeña:

Los ángulos de un triángulo forman una progresión aritmética exactamente cuando su ángulo del medio es 60∘60^\circ.

A triangle’s angles form an arithmetic progression exactly when its middle angle is 60∘60^\circ

Pista grande:

Sea ∠DBA=x\angle DBA = x y ∠ADB=y;\angle ADB = y; los cuatro ángulos de ABCDABCD resultan x,y,180−y,180−x,x, y, 180-y, 180-x, que deben formar una progresión aritmética con un ángulo del triángulo igual a 60∘60^\circ.

Let ∠DBA=x\angle DBA = x and ∠ADB=y;\angle ADB = y; the four angles of ABCDABCD become x,y,180−y,180−x,x, y, 180-y, 180-x, which must be an arithmetic progression with one triangle angle equal to 60∘60^\circ

Solución:

Los ángulos de un triángulo forman una progresión aritmética exactamente cuando el ángulo medio es 60∘.60^\circ. Con ∠DBA=x\angle DBA = x y ∠ADB=y,\angle ADB = y, los cuatro ángulos de ABCDABCD son x,y,180−y,180−x,x, y, 180 - y, 180-x, y también deben formar una progresión aritmética. En orden creciente son x,y,180−y,180−xx,y,180-y,180-x o x,180−y,y,180−x,x,180-y,y,180-x, lo que da 3y=x+1803y=x+180 o 3y=360−x.3y=360-x. Uno de los ángulos del triángulo x,y,180−x−yx,y,180-x-y es 60∘.60^\circ. Al sustituir quedan los conjuntos de ángulos (60,80,100,120)(60,80,100,120) y (45,75,105,135).(45,75,105,135). Los dos ángulos mayores suman como máximo 105+135=240.105 + 135 = 240. Así, la respuesta correcta es D.

The angles of a triangle form an arithmetic progression exactly when the middle one is 60∘.60^\circ. With ∠DBA=x\angle DBA = x and ∠ADB=y,\angle ADB = y, the four angles of ABCDABCD are x,y,180−y,180−x,x, y, 180 - y, 180-x, which must itself be an arithmetic progression. In increasing order they are either x,y,180−y,180−xx,y,180-y,180-x or x,180−y,y,180−x,x,180-y,y,180-x, giving 3y=x+1803y=x+180 or 3y=360−x.3y=360-x. One of the triangle angles x,y,180−x−yx,y,180-x-y is 60∘.60^\circ. Substitution leaves the angle sets (60,80,100,120)(60,80,100,120) and (45,75,105,135).(45,75,105,135). The two largest angles sum to at most 105+135=240.105 + 135 = 240. Thus, the correct answer is D.

Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

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