Question

Un círculo se ha dividido en $6$ sectores de distintos tamaños. Luego $2$ de los sectores se pintan de rojo, $2$ de verde y $2$ de azul, de modo que dos sectores vecinos nunca se pintan del mismo color. Abajo se muestra una de esas coloraciones.

¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

A circle has been divided into $6$ sectors of different sizes. Then $2$ of the sectors are painted red, $2$ painted green, and $2$ painted blue so that no two neighboring sectors are painted the same color. One such coloring is shown below.

How many different colorings are possible?

$12$

$16$

$18$

$24$

$28$

Solución:

Los dos sectores de cada color deben formar un par no adyacente, así que una coloración es una forma de dividir los $6$ sectores dispuestos en ciclo en tres pares no adyacentes junto con una asignación de los tres colores. Los pares no adyacentes son las aristas del complemento del $6$ -ciclo, el prisma triangular, que tiene $4$ emparejamientos perfectos. Asignar los tres colores de $3!$ maneras da $4 \times 6 = 24$ coloraciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two sectors of each color must be a non-adjacent pair, so a coloring is a way to split the $6$ cyclic sectors into three non-adjacent pairs together with an assignment of the three colors. The non-adjacent pairs are the edges of the complement of the $6$ -cycle, the triangular prism, which has $4$ perfect matchings. Assigning the three colors in $3!$ ways gives $4 \times 6 = 24$ colorings.

Thus, the correct answer is D.

2025 AMC 12B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años