Question

Considera una sucesión decreciente de $n$ enteros positivos $x_1 \gt x_2 \gt \cdots \gt x_n$ que satisface las dos condiciones siguientes:

• El promedio (media aritmética) de los primeros $3$ términos de la sucesión es $2025.$

• Para todo $4 \le k \le n,$ el promedio de los primeros $k$ términos de la sucesión es $1$ menos que el promedio de los primeros $k-1$ términos de la sucesión.

¿Cuál es el mayor valor posible de $n$ ?

Consider a decreasing sequence of $n$ positive integers $x_1 \gt x_2 \gt \cdots \gt x_n$ that satisfies the following two conditions:

• The average (arithmetic mean) of the first $3$ terms in the sequence is $2025.$

• For all $4 \le k \le n,$ the average of the first $k$ terms in the sequence is $1$ less than the average of the first $k-1$ terms in the sequence.

What is the greatest possible value of $n?$

$1013$

$1014$

$1016$

$2016$

$2025$

Respuesta: B

Conceptos:media sucesión aritmética acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea $A_k$ el promedio de los primeros $k$ términos; la segunda condición da $A_k = 2028 - k$ para $k \ge 3$ .

Let $A_k$ be the average of the first $k$ terms; the second condition gives $A_k = 2028 - k$ for $k \ge 3$

Pista grande:

A partir de $S_k = k A_k$ recupera $x_k = 2029 - 2k$ para $k \ge 4,$ y luego exige que cada término se mantenga positivo.

From $S_k = k A_k$ recover $x_k = 2029 - 2k$ for $k \ge 4,$ then require every term to stay positive

Solución:

El promedio de los primeros $k$ términos es $A_k = 2028 - k$ para $k \ge 3,$ así que la suma parcial es $S_k = k(2028 - k).$ Para $k \ge 4,$ $x_k = S_k - S_{k-1} = 2029 - 2k,$ que es positivo exactamente cuando $k \le 1014.$ Un inicio válido como $x_1, x_2, x_3 = 2030, 2023, 2022$ mantiene toda la sucesión estrictamente decreciente, así que el mayor $n$ posible es $1014.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The average of the first $k$ terms is $A_k = 2028 - k$ for $k \ge 3,$ so the partial sum is $S_k = k(2028 - k).$ For $k \ge 4,$ $x_k = S_k - S_{k-1} = 2029 - 2k,$ which is positive exactly when $k \le 1014.$ A valid start such as $x_1, x_2, x_3 = 2030, 2023, 2022$ keeps the whole sequence strictly decreasing, so the greatest possible $n$ is $1014.$

Thus, the correct answer is B.

2025 AMC 12B Problema 14

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años