Question

Dado el polígono regular de nueve lados $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9,$ ¿cuántos triángulos equiláteros distintos en el plano del polígono tienen al menos dos vértices en el conjunto $\{A_1, A_2, \ldots, A_9\}$ ?

Given the nine-sided regular polygon $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9,$ how many distinct equilateral triangles in the plane of the polygon have at least two vertices in the set $\{A_1, A_2, \ldots, A_9\}?$

$30$

$36$

$63$

$66$

$72$

Solución:

Cada uno de los $\binom{9}{2} = 36$ pares de vértices es un lado de exactamente dos triángulos equiláteros, lo que da $72$ triángulos contados con multiplicidad.

Los triángulos $A_1 A_4 A_7,$ $A_2 A_5 A_8,$ y $A_3 A_6 A_9$ tienen sus tres vértices en el conjunto, así que cada uno se cuenta tres veces en lugar de una, un exceso de $2$ cada uno.

El número de triángulos distintos es $72 - 3 \cdot 2 = 66.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each of the $\binom{9}{2} = 36$ pairs of vertices is a side of exactly two equilateral triangles, giving $72$ triangles counted with multiplicity.

The triangles $A_1 A_4 A_7,$ $A_2 A_5 A_8,$ and $A_3 A_6 A_9$ have all three vertices in the set, so each is counted three times instead of once, an overcount of $2$ apiece.

The number of distinct triangles is $72 - 3 \cdot 2 = 66.$

Thus, the correct answer is D.

2001 AMC 12 Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años