Question

Sea $ABCD$ un rectángulo y sea $\overline{DM}$ un segmento perpendicular al plano de $ABCD.$ Supongamos que $\overline{DM}$ tiene longitud entera, y que las longitudes de $\overline{MA},$ $\overline{MC},$ y $\overline{MB}$ son enteros positivos impares consecutivos (en ese orden). ¿Cuál es el volumen de la pirámide $MABCD$ ?

Let $ABCD$ be a rectangle and let $\overline{DM}$ be a segment perpendicular to the plane of $ABCD.$ Suppose that $\overline{DM}$ has integer length, and the lengths of $\overline{MA},$ $\overline{MC},$ and $\overline{MB}$ are consecutive odd positive integers (in this order). What is the volume of pyramid $MABCD?$

$24\sqrt5$

$60$

$28\sqrt5$

$66$

$8\sqrt{70}$

Respuesta: A

Conceptos:Geometría 3D Teorema de Pitágoras pirámide

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Con $D$ en el origen, $MA^2=AD^2+DM^2,$ $MC^2=CD^2+DM^2,$ $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2$

With $D$ at the origin, $MA^2=AD^2+DM^2,$ $MC^2=CD^2+DM^2,$ $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2$

Pista grande:

Así $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2;$ con $MA,MC,MB=k,k+2,k+4,$ despeja $k$ y $DM$

So $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2;$ with $MA,MC,MB=k,k+2,k+4,$ solve for $k$ and $DM$

Solución:

Coloquemos $D$ en el origen, con $A,$ $C$ sobre los lados del rectángulo y $M$ directamente encima de $D.$ Entonces $MA^2=AD^2+DM^2,$ $MC^2=CD^2+DM^2,$ y $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2.$

Por tanto, $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2.$ Escribiendo $MA,MC,MB=k,k+2,k+4,$ obtenemos $DM^2=k^2+(k+2)^2$ $-(k+4)^2$ $=k^2-4k-12.$

Si $DM=t$ es un entero positivo, entonces $(k-2)^2-t^2=16,$ así que $(k-2-t)(k-2+t)=16.$ El único par positivo de factores de la misma paridad que da $t>0$ es $(2,8),$ del cual se obtiene $k=7$ y $t=3.$ Por tanto, $AD^2=49-9=40$ y $CD^2=81-9=72.$

El área de la base es $AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72}$ $=\sqrt{2880}=24\sqrt5,$ y el volumen es $\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5.$

Así, la respuesta correcta es A.

Place $D$ at the origin with $A,$ $C$ along the rectangle’s edges and $M$ directly above $D.$ Then $MA^2=AD^2+DM^2,$ $MC^2=CD^2+DM^2,$ and $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2.$

Thus $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2.$ Writing $MA,MC,MB=k,k+2,k+4,$ we get $DM^2=k^2+(k+2)^2$ $-(k+4)^2$ $=k^2-4k-12.$

If $DM=t$ is a positive integer, then $(k-2)^2-t^2=16,$ so $(k-2-t)(k-2+t)=16.$ The only positive same-parity factor pair giving $t>0$ is $(2,8),$ which yields $k=7$ and $t=3.$ Thus $AD^2=49-9=40$ and $CD^2=81-9=72.$

The base area is $AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72}$ $=\sqrt{2880}=24\sqrt5,$ and the volume is $\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Spring Problema 14

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años