Question

Cinco cuadrados unitarios están dispuestos en el plano coordenado como se muestra, con la esquina inferior izquierda en el origen. La recta inclinada, que va de $(a, 0)$ a $(3, 3),$ divide toda la región en dos regiones de igual área. ¿Cuánto vale $a$ ?

Five unit squares are arranged in the coordinate plane as shown, with the lower left corner at the origin. The slanted line, extending from $(a, 0)$ to $(3, 3),$ divides the entire region into two regions of equal area. What is $a?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

Solución:

Los cinco cuadrados tienen área total $5,$ así que cada región debe tener área $\dfrac{5}{2}.$

La recta de $(a, 0)$ a $(3, 3)$ junto con los ejes delimita un triángulo de base $3 - a$ y altura $3$ ; la región del lado inferior derecho de la recta es este triángulo al que se le quita un cuadrado unitario. Al plantear $\dfrac{3(3 - a)}{2} - 1 = \dfrac{5}{2}$ se obtiene $3(3 - a) = 7,$ así que $a = \dfrac{2}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The five squares have total area $5,$ so each region must have area $\dfrac{5}{2}.$

The line from $(a, 0)$ to $(3, 3)$ together with the axes bounds a triangle of base $3 - a$ and height $3$ ; the region on the lower-right side of the line is this triangle with one unit square removed. Setting $\dfrac{3(3 - a)}{2} - 1 = \dfrac{5}{2}$ gives $3(3 - a) = 7,$ so $a = \dfrac{2}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 12B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años