Question

Sea $S$ el conjunto de todos los divisores enteros positivos de $100{,}000.$ ¿Cuántos números son el producto de dos elementos distintos de $S$ ?

Let $S$ be the set of all positive integer divisors of $100{,}000.$ How many numbers are the product of two distinct elements of $S?$

$98$

$100$

$117$

$119$

$121$

Solución:

Como $100{,}000=2^5\cdot5^5,$ cada divisor es $2^a5^b$ con $0\le a,b\le5.$ Un producto de dos divisores es $2^x5^y$ con $0\le x,y\le10,$ y cada par $(x,y)$ es alcanzable, dando $11\cdot11=121$ valores.

Necesitamos dos divisores distintos. Un valor $2^x5^y$ está forzado a ser un divisor por sí mismo solo cuando tanto $x$ como $y$ tienen una única descomposición, lo cual ocurre exactamente cuando $x,y\in\{0,10\}.$ Esos $4$ valores de las esquinas ( $1,\ 2^{10},\ 5^{10},\ 2^{10}5^{10}$ ) no pueden usar dos divisores distintos.

El conteo es $121-4=117.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $100{,}000=2^5\cdot5^5,$ every divisor is $2^a5^b$ with $0\le a,b\le5.$ A product of two divisors is $2^x5^y$ with $0\le x,y\le10,$ and every such pair $(x,y)$ is attainable, giving $11\cdot11=121$ values.

We need two distinct divisors. A value $2^x5^y$ is forced to be a divisor times itself only when both $x$ and $y$ have a unique split, which happens exactly when $x,y\in\{0,10\}.$ Those $4$ corner values ( $1,\ 2^{10},\ 5^{10},\ 2^{10}5^{10}$ ) cannot use two distinct divisors.

The count is $121-4=117.$

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años