Question

Los puntos $K,$ $L,$ $M,$ y $N$ están en el plano del cuadrado $ABCD$ de modo que $AKB,$ $BLC,$ $CMD,$ y $DNA$ son triángulos equiláteros. Si $ABCD$ tiene un área de $16,$ halla el área de $KLMN.$

Points $K,$ $L,$ $M,$ and $N$ lie in the plane of the square $ABCD$ so that $AKB,$ $BLC,$ $CMD,$ and $DNA$ are equilateral triangles. If $ABCD$ has an area of $16,$ find the area of $KLMN.$

$32$

$16 + 16\sqrt{3}$

$48$

$32 + 16\sqrt{3}$

$64$

Solución:

El cuadrado $ABCD$ tiene lado $4.$ Por la simetría rotacional de $90^\circ$ , $KLMN$ también es un cuadrado.

Cada triángulo equilátero sobre un lado de longitud $4$ tiene altura $2\sqrt3,$ así que la diagonal $KM=4+2(2\sqrt3)=4+4\sqrt3.$

Un cuadrado con diagonal $d$ tiene área $\dfrac12 d^2,$ así que $[KLMN]=\dfrac12(4+4\sqrt3)^2$ $=32+16\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The square $ABCD$ has side $4.$ By the $90^\circ$ rotational symmetry, $KLMN$ is also a square.

Each equilateral triangle on a side of length $4$ has height $2\sqrt3,$ so the diagonal $KM=4+2(2\sqrt3)=4+4\sqrt3.$

A square with diagonal $d$ has area $\dfrac12 d^2,$ so $[KLMN]=\dfrac12(4+4\sqrt3)^2$ $=32+16\sqrt3.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años