Soluciones del 2003 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es la diferencia entre la suma de los primeros $2003$ números pares y la suma de los primeros $2003$ números impares?

What is the difference between the sum of the first $2003$ even counting numbers and the sum of the first $2003$ odd counting numbers?

$0$

$1$

$2$

$2003$

$4006$

Conceptos:sumatoria emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 890

Solución:

El $k$ -ésimo número par es $2k$ y el $k$ -ésimo número impar es $2k-1,$ que difieren en $1.$

Sumando esta diferencia sobre los $2003$ pares se obtiene $2003 \cdot 1 = 2003.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The $k$ th even counting number is $2k$ and the $k$ th odd counting number is $2k-1,$ which differ by $1.$

Summing this difference over all $2003$ pairs gives $2003 \cdot 1 = 2003.$

Thus, the correct answer is D.

2.

Los miembros de la Liga de Fútbol Rockham compran calcetines y camisetas. Un par de calcetines cuesta $\$4$ y cada camiseta cuesta $\$5$ más que un par de calcetines. Cada miembro necesita un par de calcetines y una camiseta para los partidos en casa, y otro par de calcetines y una camiseta para los partidos de visitante. Si el costo total es $\$2366,$ ¿cuántos miembros hay en la Liga?

Members of the Rockham Soccer League buy socks and T-shirts. Socks cost $\$4$ per pair and each T-shirt costs $\$5$ more than a pair of socks. Each member needs one pair of socks and a shirt for home games and another pair of socks and a shirt for away games. If the total cost is $\$2366,$ how many members are in the League?

$77$

$91$

$143$

$182$

$286$

Conceptos:dinero ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Una camiseta cuesta $4+5=9$ dólares.

Cada miembro necesita dos pares de calcetines y dos camisetas, con un costo de $2(4)+2(9)=26$ dólares.

El número de miembros es $2366 \div 26 = 91.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A T-shirt costs $4+5=9$ dollars.

Each member needs two pairs of socks and two shirts, costing $2(4)+2(9)=26$ dollars.

The number of members is $2366 \div 26 = 91.$

Thus, the correct answer is B.

3.

Una caja sólida mide $15$ cm por $10$ cm por $8$ cm. Se forma un nuevo sólido quitando de cada esquina de esta caja un cubo de $3$ cm de lado. ¿Qué porcentaje del volumen original se elimina?

A solid box is $15$ cm by $10$ cm by $8$ cm. A new solid is formed by removing a cube $3$ cm on a side from each corner of this box. What percent of the original volume is removed?

$4.5$

$9$

$12$

$18$

$24$

Conceptos:volumen porcentaje

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

El volumen original es $15 \cdot 10 \cdot 8 = 1200.$

Se quitan ocho cubos de esquina, cada uno de volumen $3^3 = 27,$ para un total de $8 \cdot 27 = 216.$

La fracción eliminada es $\dfrac{216}{1200} = 0.18,$ que corresponde a $18\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The original volume is $15 \cdot 10 \cdot 8 = 1200.$

Eight corner cubes are removed, each of volume $3^3 = 27,$ totaling $8 \cdot 27 = 216.$

The fraction removed is $\dfrac{216}{1200} = 0.18,$ which is $18\%.$

Thus, the correct answer is D.

4.

Mary tarda $30$ minutos en caminar cuesta arriba $1$ km desde su casa hasta la escuela, pero solo tarda $10$ minutos en caminar de la escuela a su casa por la misma ruta. ¿Cuál es su rapidez promedio, en km/hr, para el viaje de ida y vuelta?

It takes Mary $30$ minutes to walk uphill $1$ km from her home to school, but it takes her only $10$ minutes to walk from school to home along the same route. What is her average speed, in km/hr, for the round trip?

$3$

$3.125$

$3.5$

$4$

$4.5$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades media armónica

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

Mary camina en total $2$ km en $30+10=40$ minutos, que son $\dfrac23$ hora.

Su rapidez promedio es $2 \div \dfrac23 = 3$ km/hr.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Mary walks a total of $2$ km in $30+10=40$ minutes, which is $\dfrac23$ hour.

Her average speed is $2 \div \dfrac23 = 3$ km/hr.

Thus, the correct answer is A.

5.

La suma de los dos números de $5$ cifras $\overline{AMC10}$ y $\overline{AMC12}$ es $123422.$ ¿Cuánto vale $A + M + C$ ?

The sum of the two $5$ -digit numbers $\overline{AMC10}$ and $\overline{AMC12}$ is $123422.$ What is $A + M + C?$

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Conceptos:valor posicional criptoaritmética

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Escribe $\overline{AMC10}=100\cdot\overline{AMC}+10$ y $\overline{AMC12}=100\cdot\overline{AMC}+12.$

Su suma es $200\cdot\overline{AMC}+22=123422,$ así que $\overline{AMC}=617.$

Entonces $A+M+C=6+1+7=14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write $\overline{AMC10}=100\cdot\overline{AMC}+10$ and $\overline{AMC12}=100\cdot\overline{AMC}+12.$

Their sum is $200\cdot\overline{AMC}+22=123422,$ so $\overline{AMC}=617.$

Then $A+M+C=6+1+7=14.$

Thus, the correct answer is E.

6.

Define $x\heartsuit y$ como $|x - y|$ para todos los números reales $x$ y $y.$ ¿Cuál de los siguientes enunciados no es verdadero?

Define $x\heartsuit y$ to be $|x - y|$ for all real numbers $x$ and $y.$ Which of the following statements is not true?

$x\heartsuit y = y\heartsuit x$ para todos $x$ y $y$

$x\heartsuit y = y\heartsuit x$ for all $x$ and $y$

$2(x\heartsuit y) = (2x)\heartsuit(2y)$ para todos $x$ y $y$

$2(x\heartsuit y) = (2x)\heartsuit(2y)$ for all $x$ and $y$

$x\heartsuit 0 = x$ para todos $x$

$x\heartsuit 0 = x$ for all $x$

$x\heartsuit x = 0$ para todos $x$

$x\heartsuit x = 0$ for all $x$

$x\heartsuit y \gt 0$ si $x \neq y$

$x\heartsuit y \gt 0$ if $x \neq y$

Conceptos:valor absoluto contraejemplo

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Como $x\heartsuit 0=|x-0|=|x|,$ el enunciado (C) afirma que $|x|=x$ para todo $x,$ lo cual falla cuando $x\lt0.$ Por ejemplo, $(-1)\heartsuit 0 = 1 \neq -1.$

Todos los demás enunciados se deducen directamente de las propiedades del valor absoluto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $x\heartsuit 0=|x-0|=|x|,$ statement (C) claims $|x|=x$ for all $x,$ which fails when $x\lt0.$ For example, $(-1)\heartsuit 0 = 1 \neq -1.$

Every other statement follows directly from properties of the absolute value.

Thus, the correct answer is C.

7.

¿Cuántos triángulos no congruentes con perímetro $7$ tienen lados de longitud entera?

How many non-congruent triangles with perimeter $7$ have integer side lengths?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:desigualdad triangular particiones y composiciones

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Sean los lados $a\le b\le c$ con $a+b+c=7.$ La desigualdad triangular exige $c\lt a+b,$ así que $c\lt3.5,$ lo que obliga a $c=3.$

Entonces $a+b=4$ con $a\le b\le3,$ lo que da los triángulos $1\text{-}3\text{-}3$ y $2\text{-}2\text{-}3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the sides be $a\le b\le c$ with $a+b+c=7.$ The triangle inequality requires $c\lt a+b,$ so $c\lt3.5,$ forcing $c=3.$

Then $a+b=4$ with $a\le b\le3,$ giving the triangles $1\text{-}3\text{-}3$ and $2\text{-}2\text{-}3.$

Thus, the correct answer is B.

8.

¿Cuál es la probabilidad de que un divisor positivo de $60$ elegido al azar sea menor que $7$ ?

What is the probability that a randomly drawn positive factor of $60$ is less than $7?$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:conteo de factores probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

El número $60$ tiene $12$ divisores positivos: $1,2,3,4,5,6,$ $10,12,15,20,30,60.$

Seis de ellos son menores que $7,$ a saber $1,2,3,4,5,6,$ así que la probabilidad es $\dfrac{6}{12}=\dfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The number $60$ has $12$ positive factors: $1,2,3,4,5,6,$ $10,12,15,20,30,60.$

Six of them are less than $7,$ namely $1,2,3,4,5,6,$ so the probability is $\dfrac{6}{12}=\dfrac12.$

Thus, the correct answer is E.

9.

El conjunto $S$ de puntos en el plano $xy$ es simétrico respecto al origen, a ambos ejes coordenados y a la recta $y = x.$ Si $(2, 3)$ está en $S,$ ¿cuál es el menor número de puntos que puede tener $S$ ?

A set $S$ of points in the $xy$ -plane is symmetric about the origin, both coordinate axes, and the line $y = x.$ If $(2, 3)$ is in $S,$ what is the smallest number of points in $S?$

$1$

$2$

$4$

$8$

$16$

Conceptos:transformación simetría

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Reflejar respecto a $y=x$ da $(3,2),$ y reflejar respecto a los ejes da todos los puntos $(\pm2,\pm3)$ y $(\pm3,\pm2).$

Hay $8$ puntos de este tipo, y este conjunto ya es simétrico respecto al origen, a ambos ejes y a $y=x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Reflecting across $y=x$ gives $(3,2),$ and reflecting across the axes gives all points $(\pm2,\pm3)$ and $(\pm3,\pm2).$

There are $8$ such points, and this set is already symmetric about the origin, both axes, and $y=x.$

Thus, the correct answer is D.

10.

Al, Bert y Carl son los ganadores de un sorteo escolar de un montón de dulces de Halloween, que deben repartir en una razón de $3 : 2 : 1,$ respectivamente. Debido a cierta confusión llegan en momentos distintos a reclamar sus premios, y cada uno supone que es el primero en llegar. Si cada uno toma lo que cree que es su parte correcta de los dulces, ¿qué fracción de los dulces queda sin reclamar?

Al, Bert, and Carl are the winners of a school drawing for a pile of Halloween candy, which they are to divide in a ratio of $3 : 2 : 1,$ respectively. Due to some confusion they come at different times to claim their prizes, and each assumes he is the first to arrive. If each takes what he believes to be his correct share of candy, what fraction of the candy goes unclaimed?

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{5}{18}$

$\dfrac{5}{12}$

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Las partes son $\dfrac12,\dfrac13,\dfrac16$ del montón.

Cada persona supone que es el primero, así que Al deja $\dfrac12,$ Bert deja $\dfrac23,$ y Carl deja $\dfrac56$ de los dulces presentes cuando llega.

La fracción sin reclamar es $\dfrac12\cdot\dfrac23\cdot\dfrac56=\dfrac{5}{18},$ sin importar el orden.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The shares are $\dfrac12,\dfrac13,\dfrac16$ of the pile.

Each person assumes he is first, so Al leaves $\dfrac12,$ Bert leaves $\dfrac23,$ and Carl leaves $\dfrac56$ of the candy present when he arrives.

The unclaimed fraction is $\dfrac12\cdot\dfrac23\cdot\dfrac56=\dfrac{5}{18},$ regardless of the order.

Thus, the correct answer is D.

11.

Un cuadrado y un triángulo equilátero tienen el mismo perímetro. Sea $A$ el área del círculo circunscrito al cuadrado y $B$ el área del círculo circunscrito al triángulo. Halla $A/B.$

A square and an equilateral triangle have the same perimeter. Let $A$ be the area of the circle circumscribed about the square and $B$ be the area of the circle circumscribed about the triangle. Find $A/B.$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{27}{32}$

$\dfrac{3\sqrt{6}}{8}$

$1$

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio razón de áreas

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Sea el perímetro común $12,$ de modo que el cuadrado tiene lado $3$ y el triángulo tiene lado $4.$

El circunradio del cuadrado es $\dfrac{3\sqrt2}{2},$ así que $A=\pi\left(\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)^2=\dfrac{9\pi}{2}.$

El circunradio del triángulo es $\dfrac{4}{\sqrt3},$ así que $B=\pi\left(\dfrac{4}{\sqrt3}\right)^2=\dfrac{16\pi}{3}.$

Entonces $\dfrac{A}{B}=\dfrac{9/2}{16/3}=\dfrac{27}{32}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the common perimeter be $12,$ so the square has side $3$ and the triangle has side $4.$

The square's circumradius is $\dfrac{3\sqrt2}{2},$ so $A=\pi\left(\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)^2=\dfrac{9\pi}{2}.$

The triangle's circumradius is $\dfrac{4}{\sqrt3},$ so $B=\pi\left(\dfrac{4}{\sqrt3}\right)^2=\dfrac{16\pi}{3}.$

Then $\dfrac{A}{B}=\dfrac{9/2}{16/3}=\dfrac{27}{32}.$

Thus, the correct answer is C.

12.

Sally tiene cinco cartas rojas numeradas del $1$ al $5$ y cuatro cartas azules numeradas del $3$ al $6.$ Apila las cartas de modo que los colores se alternen y que el número de cada carta roja divida exactamente al número de cada carta azul vecina. ¿Cuál es la suma de los números de las tres cartas centrales?

Sally has five red cards numbered $1$ through $5$ and four blue cards numbered $3$ through $6.$ She stacks the cards so that the colors alternate and so that the number on each red card divides evenly into the number on each neighboring blue card. What is the sum of the numbers on the middle three cards?

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:divisibilidad deducción lógica

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Como $4$ solo divide a $4$ y $5$ solo divide a $5$ entre $3,4,5,6,$ los dos extremos deben ser $R4,B4,\dots,B5,R5.$

Como $2$ solo divide a $4$ y $6,$ la siguiente carta es $R2,B6,$ y como $3$ solo divide a $3$ y $6,$ la pila completa es $R4,$ $B4,$ $R2,$ $B6,$ $R3,$ $B3,$ $R1,$ $B5,$ $R5.$

Las tres cartas centrales son $6,3,3,$ que suman $12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $4$ divides only $4$ and $5$ divides only $5$ among $3,4,5,6,$ the two ends must be $R4,B4,\dots,B5,R5.$

Because $2$ divides only $4$ and $6,$ the next card is $R2,B6,$ and since $3$ divides only $3$ and $6,$ the full stack is $R4,$ $B4,$ $R2,$ $B6,$ $R3,$ $B3,$ $R1,$ $B5,$ $R5.$

The middle three cards are $6,3,3,$ which sum to $12.$

Thus, the correct answer is E.

13.

El polígono encerrado por las líneas continuas de la figura consta de $4$ cuadrados congruentes unidos lado con lado. Se une otro cuadrado congruente a una arista en una de las nueve posiciones indicadas. ¿Cuántos de los nueve polígonos resultantes se pueden doblar para formar un cubo al que le falta una cara?

The polygon enclosed by the solid lines in the figure consists of $4$ congruent squares joined edge-to-edge. One more congruent square is attached to an edge at one of the nine positions indicated. How many of the nine resulting polygons can be folded to form a cube with one face missing?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1530

Solución:

Un cubo al que le falta una cara tiene $5$ caras, así que el quinto cuadrado debe completar una configuración plegable.

Al doblar la pieza de cuatro cuadrados, esta envuelve cuatro caras de un cubo, identificando dos de sus aristas. El quinto cuadrado entonces se levanta sobre una cara exactamente cuando está unido a lo largo de una de las aristas libres.

De las nueve posiciones indicadas, $6$ de ellas funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A cube missing one face has $5$ faces, so the fifth square must complete a foldable arrangement.

Folding the four-square piece wraps it around four faces of a cube, identifying two of its edges. The fifth square then folds up onto a face exactly when it is attached along one of the free edges.

Of the nine indicated positions, $6$ of them work.

Thus, the correct answer is E.

14.

Los puntos $K,$ $L,$ $M,$ y $N$ están en el plano del cuadrado $ABCD$ de modo que $AKB,$ $BLC,$ $CMD,$ y $DNA$ son triángulos equiláteros. Si $ABCD$ tiene un área de $16,$ halla el área de $KLMN.$

Points $K,$ $L,$ $M,$ and $N$ lie in the plane of the square $ABCD$ so that $AKB,$ $BLC,$ $CMD,$ and $DNA$ are equilateral triangles. If $ABCD$ has an area of $16,$ find the area of $KLMN.$

$32$

$16 + 16\sqrt{3}$

$48$

$32 + 16\sqrt{3}$

$64$

Conceptos:triángulo equilátero cuadrado (geometría)simetría

Nivel de dificultad: 1570

Solución:

El cuadrado $ABCD$ tiene lado $4.$ Por la simetría rotacional de $90^\circ$ , $KLMN$ también es un cuadrado.

Cada triángulo equilátero sobre un lado de longitud $4$ tiene altura $2\sqrt3,$ así que la diagonal $KM=4+2(2\sqrt3)=4+4\sqrt3.$

Un cuadrado con diagonal $d$ tiene área $\dfrac12 d^2,$ así que $[KLMN]=\dfrac12(4+4\sqrt3)^2$ $=32+16\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The square $ABCD$ has side $4.$ By the $90^\circ$ rotational symmetry, $KLMN$ is also a square.

Each equilateral triangle on a side of length $4$ has height $2\sqrt3,$ so the diagonal $KM=4+2(2\sqrt3)=4+4\sqrt3.$

A square with diagonal $d$ has area $\dfrac12 d^2,$ so $[KLMN]=\dfrac12(4+4\sqrt3)^2$ $=32+16\sqrt3.$

Thus, the correct answer is D.

15.

Un semicírculo de diámetro $1$ se apoya en la parte superior de un semicírculo de diámetro $2,$ como se muestra. El área sombreada dentro del semicírculo menor y fuera del semicírculo mayor se llama lúnula. Determina el área de esta lúnula.

A semicircle of diameter $1$ sits at the top of a semicircle of diameter $2,$ as shown. The shaded area inside the smaller semicircle and outside the larger semicircle is called a lune. Determine the area of this lune.

$\dfrac{1}{6}\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{12}\pi$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{24}\pi$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{24}\pi$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{12}\pi$

Conceptos:sector circular descomposición de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

El diámetro del semicírculo pequeño es una cuerda de longitud $1$ en el círculo grande de radio $1,$ así que subtiende un ángulo de $60^\circ$ en el centro.

La región limitada por esa cuerda y el arco pequeño es un triángulo equilátero de área $\dfrac{\sqrt3}{4}$ coronado por el semicírculo pequeño de área $\dfrac12\pi\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac{\pi}{8}.$

Restando el sector de $60^\circ$ del círculo grande, $\dfrac16\pi(1)^2=\dfrac{\pi}{6},$ se obtiene el área de la lúnula $\dfrac{\sqrt3}{4}+\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{4}-\dfrac{\pi}{24}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The small semicircle's diameter is a chord of length $1$ in the large circle of radius $1,$ so it subtends a $60^\circ$ angle at the center.

The region bounded by that chord and the small arc is an equilateral triangle of area $\dfrac{\sqrt3}{4}$ topped by the small semicircle of area $\dfrac12\pi\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac{\pi}{8}.$

Subtracting the $60^\circ$ sector of the large circle, $\dfrac16\pi(1)^2=\dfrac{\pi}{6},$ gives the lune area $\dfrac{\sqrt3}{4}+\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{4}-\dfrac{\pi}{24}.$

Thus, the correct answer is C.

16.

Se elige un punto $P$ al azar en el interior del triángulo equilátero $ABC.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $\triangle ABP$ tenga mayor área que cada uno de $\triangle ACP$ y $\triangle BCP$ ?

A point $P$ is chosen at random in the interior of equilateral triangle $ABC.$ What is the probability that $\triangle ABP$ has a greater area than each of $\triangle ACP$ and $\triangle BCP?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad geométrica área del triángulo simetría

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Los triángulos $\triangle ABP,$ $\triangle ACP,$ y $\triangle BCP$ tienen bases iguales (los lados del triángulo equilátero), así que sus áreas son proporcionales a las distancias de $P$ a esos lados.

Por la simetría de orden tres del triángulo equilátero, $\triangle ABP$ es el más grande con la misma probabilidad que cada uno de los otros dos, así que esa probabilidad es $\dfrac13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The triangles $\triangle ABP,$ $\triangle ACP,$ and $\triangle BCP$ have equal bases (the sides of the equilateral triangle), so their areas are proportional to the distances from $P$ to those sides.

By the threefold symmetry of the equilateral triangle, $\triangle ABP$ is the largest with the same probability as each of the other two, so that probability is $\dfrac13.$

Thus, the correct answer is C.

17.

El cuadrado $ABCD$ tiene lados de longitud $4,$ y $M$ es el punto medio de $\overline{CD}.$ Un círculo de radio $2$ y centro $M$ corta a un círculo de radio $4$ y centro $A$ en los puntos $P$ y $D.$ ¿Cuál es la distancia de $P$ a $\overline{AD}$ ?

Square $ABCD$ has sides of length $4,$ and $M$ is the midpoint of $\overline{CD}.$ A circle with radius $2$ and center $M$ intersects a circle with radius $4$ and center $A$ at points $P$ and $D.$ What is the distance from $P$ to $\overline{AD}?$

$3$

$\dfrac{16}{5}$

$\dfrac{13}{4}$

$2\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{2}$

Conceptos:geometría analítica círculo

Nivel de dificultad: 1730

Solución:

Coloca $D=(0,0),$ $C=(4,0),$ y $A=(0,4).$ El círculo centrado en $M=(2,0)$ es $(x-2)^2+y^2=4,$ y el círculo centrado en $A$ es $x^2+(y-4)^2=16.$

Al resolver estas ecuaciones se obtiene la intersección $P=\left(\dfrac{16}{5},\dfrac85\right).$

Como $\overline{AD}$ está sobre el eje $y$ , la distancia de $P$ a $\overline{AD}$ es su coordenada $x$ , $\dfrac{16}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place $D=(0,0),$ $C=(4,0),$ and $A=(0,4).$ The circle centered at $M=(2,0)$ is $(x-2)^2+y^2=4,$ and the circle centered at $A$ is $x^2+(y-4)^2=16.$

Solving these equations gives the intersection $P=\left(\dfrac{16}{5},\dfrac85\right).$

Since $\overline{AD}$ lies on the $y$ -axis, the distance from $P$ to $\overline{AD}$ is its $x$ -coordinate, $\dfrac{16}{5}.$

Thus, the correct answer is B.

18.

Sea $n$ un número de $5$ cifras, y sean $q$ y $r$ el cociente y el residuo, respectivamente, cuando $n$ se divide entre $100.$ ¿Para cuántos valores de $n$ es $q + r$ divisible entre $11$ ?

Let $n$ be a $5$ -digit number, and let $q$ and $r$ be the quotient and remainder, respectively, when $n$ is divided by $100.$ For how many values of $n$ is $q + r$ divisible by $11?$

$8180$

$8181$

$8182$

$9000$

$9090$

Conceptos:aritmética modular múltiplo

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Como $n=100q+r=(q+r)+99q$ y $99$ es divisible entre $11,$ tenemos $q+r\equiv n\pmod{11}.$

Así que $11\mid(q+r)$ exactamente cuando $11\mid n.$

Entre los números de $5$ cifras, la cantidad de múltiplos de $11$ es $\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor$ $=9090-909=8181.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $n=100q+r=(q+r)+99q$ and $99$ is divisible by $11,$ we have $q+r\equiv n\pmod{11}.$

So $11\mid(q+r)$ exactly when $11\mid n.$

Among the $5$ -digit numbers, the count of multiples of $11$ is $\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor$ $=9090-909=8181.$

Thus, the correct answer is B.

19.

Una parábola con ecuación $y = ax^2 + bx + c$ se refleja respecto al eje $x$ . La parábola y su reflexión se trasladan horizontalmente cinco unidades en direcciones opuestas para convertirse en las gráficas de $y = f(x)$ y $y = g(x),$ respectivamente. ¿Cuál de las siguientes opciones describe la gráfica de $y = (f + g)(x)$ ?

A parabola with equation $y = ax^2 + bx + c$ is reflected about the $x$ -axis. The parabola and its reflection are translated horizontally five units in opposite directions to become the graphs of $y = f(x)$ and $y = g(x),$ respectively. Which of the following describes the graph of $y = (f + g)(x)?$

una parábola tangente al eje $x$

a parabola tangent to the $x$ -axis

una parábola no tangente al eje $x$

a parabola not tangent to the $x$ -axis

una recta horizontal

a horizontal line

una recta no horizontal

a non-horizontal line

la gráfica de una función cúbica

the graph of a cubic function

Conceptos:parábola transformación función

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Escribe la parábola en forma de vértice $y=a(x-h)^2+k.$ Su reflexión respecto al eje $x$ es $y=-a(x-h)^2-k.$

Al desplazar en direcciones opuestas se obtiene $f(x)=a(x-h+5)^2+k$ y $g(x)=-a(x-h-5)^2-k.$

Al sumar, los términos cuadráticos se cancelan y $(f+g)(x)=20a(x-h),$ que es una recta no horizontal ya que $a\neq0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write the parabola in vertex form $y=a(x-h)^2+k.$ Its reflection about the $x$ -axis is $y=-a(x-h)^2-k.$

Shifting in opposite directions gives $f(x)=a(x-h+5)^2+k$ and $g(x)=-a(x-h-5)^2-k.$

Adding, the squared terms cancel and $(f+g)(x)=20a(x-h),$ which is a non-horizontal line since $a\neq0.$

Thus, the correct answer is D.

20.

¿Cuántos arreglos de $15$ letras con $5$ A, $5$ B y $5$ C no tienen ninguna A en las primeras $5$ letras, ninguna B en las $5$ letras siguientes y ninguna C en las últimas $5$ letras?

How many $15$ -letter arrangements of $5$ A's, $5$ B's, and $5$ C's have no A's in the first $5$ letters, no B's in the next $5$ letters, and no C's in the last $5$ letters?

$\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}^3$

$3^5 \cdot 2^5$

$2^{15}$

$\dfrac{15!}{(5!)^3}$

$3^{15}$

Conceptos:permutaciones de multiconjuntos combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Supón que el primer bloque contiene $k$ B y $5-k$ C. Las $k$ C restantes deben ir en el segundo bloque (ya que el tercero no tiene C), lo que obliga a que haya $5-k$ A allí.

Entonces el tercer bloque contiene las $k$ A restantes y $5-k$ B.

Para cada $k,$ las $k$ B del primer bloque, las $k$ C del segundo y las $k$ A del tercero se pueden colocar de $\binom{5}{k}^3$ maneras, así que el total es $\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}^3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Suppose the first block holds $k$ B's and $5-k$ C's. The remaining $k$ C's must go in the second block (since the third has no C's), forcing $5-k$ A's there.

Then the third block contains the remaining $k$ A's and $5-k$ B's.

For each $k,$ the $k$ B's in the first block, $k$ C's in the second, and $k$ A's in the third can be placed in $\binom{5}{k}^3$ ways, so the total is $\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}^3.$

Thus, the correct answer is A.

21.

La gráfica del polinomio $\begin{aligned} &P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 \\ &\quad {}+ cx^2 + dx + e \end{aligned}$

tiene cinco intersecciones distintas con el eje $x$ , una de las cuales está en $(0, 0).$ ¿Cuál de los siguientes coeficientes no puede ser cero?

The graph of the polynomial $\begin{aligned} &P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 \\ &\quad {}+ cx^2 + dx + e \end{aligned}$

has five distinct $x$ -intercepts, one of which is at $(0, 0).$ Which of the following coefficients cannot be zero?

$a$

$b$

$c$

$d$

$e$

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Como $(0,0)$ es una intersección, $P(0)=e=0,$ así que $P(x)$ $=x\left(x^4+ax^3+bx^2+cx+d\right).$

Las cuatro intersecciones restantes son no nulas y distintas, y $d$ es igual a su producto, que por lo tanto es no nulo.

Cualquiera de $a,b,c$ puede ser cero para elecciones adecuadas de esas raíces, pero $d\neq0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $(0,0)$ is an intercept, $P(0)=e=0,$ so $P(x)$ $=x\left(x^4+ax^3+bx^2+cx+d\right).$

The four remaining intercepts are nonzero and distinct, and $d$ equals their product, which is therefore nonzero.

Any of $a,b,c$ can be zero for suitable choices of those roots, but $d\neq0.$

Thus, the correct answer is D.

22.

Los objetos $A$ y $B$ se mueven simultáneamente en el plano coordenado mediante una sucesión de pasos, cada uno de longitud uno. El objeto $A$ parte de $(0, 0)$ y cada uno de sus pasos es hacia la derecha o hacia arriba, ambos igualmente probables. El objeto $B$ parte de $(5, 7)$ y cada uno de sus pasos es hacia la izquierda o hacia abajo, ambos igualmente probables. ¿Cuál de los siguientes valores es el más cercano a la probabilidad de que los objetos se encuentren?

Objects $A$ and $B$ move simultaneously in the coordinate plane via a sequence of steps, each of length one. Object $A$ starts at $(0, 0)$ and each of its steps is either right or up, both equally likely. Object $B$ starts at $(5, 7)$ and each of its steps is either left or down, both equally likely. Which of the following is closest to the probability that the objects meet?

$0.10$

$0.15$

$0.20$

$0.25$

$0.30$

Conceptos:caminos reticulares camino aleatorio biyección

Nivel de dificultad: 2010

Solución:

Los objetos están a $12$ pasos de distancia, así que solo pueden encontrarse después de que cada uno dé $6$ pasos, sobre la antidiagonal $x+y=6.$

Emparejar la trayectoria de seis pasos de $A$ con la trayectoria de seis pasos invertida de $B$ pone en correspondencia uno a uno los pares que se encuentran con los $\binom{12}{5}$ caminos monótonos de $(0,0)$ a $(5,7).$

La probabilidad es $\dfrac{\binom{12}{5}}{2^{12}}=\dfrac{792}{4096}\approx0.19,$ que es la más cercana a $0.20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The objects are $12$ steps apart, so they can only meet after each takes $6$ steps, on the anti-diagonal $x+y=6.$

Pairing $A$ 's six-step path with $B$ 's reversed six-step path matches meeting pairs one-to-one with the $\binom{12}{5}$ monotone walks from $(0,0)$ to $(5,7).$

The probability is $\dfrac{\binom{12}{5}}{2^{12}}=\dfrac{792}{4096}\approx0.19,$ which is closest to $0.20.$

Thus, the correct answer is C.

23.

¿Cuántos cuadrados perfectos son divisores del producto $1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 9!\,$ ?

How many perfect squares are divisors of the product $1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 9!\,?$

$504$

$672$

$864$

$936$

$1008$

Conceptos:factorización en primos cuadrado perfecto conteo de factores

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

El producto es $1! \cdot 2! \cdots 9! = 2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}.$

Un divisor cuadrado tiene la forma $2^{2a}3^{2b}5^{2c}7^{2d}$ con $0\le a\le15,$ $0\le b\le6,$ $0\le c\le2,$ y $0\le d\le1.$

El número de elecciones es $16\cdot7\cdot3\cdot2=672.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The product is $1! \cdot 2! \cdots 9! = 2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}.$

A perfect-square divisor has the form $2^{2a}3^{2b}5^{2c}7^{2d}$ with $0\le a\le15,$ $0\le b\le6,$ $0\le c\le2,$ and $0\le d\le1.$

The number of choices is $16\cdot7\cdot3\cdot2=672.$

Thus, the correct answer is B.

24.

Si $a \ge b \gt 1,$ ¿cuál es el mayor valor posible de $\log_a(a/b) + \log_b(b/a)$ ?

If $a \ge b \gt 1,$ what is the largest possible value of $\log_a(a/b) + \log_b(b/a)?$

$-2$

$0$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:logaritmo Desigualdad MA-MG

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Desarrolla: $\begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right). \end{aligned}$

Sea $c=\log_a b\gt0.$ Como $c+\dfrac1c\ge2$ por AM-GM, la expresión es a lo sumo $0.$

La igualdad se cumple cuando $c=1,$ es decir, cuando $a=b,$ así que el mayor valor es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Expand: $\begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right). \end{aligned}$

Let $c=\log_a b\gt0.$ Since $c+\dfrac1c\ge2$ by AM-GM, the expression is at most $0.$

Equality holds when $c=1,$ that is, when $a=b,$ so the largest value is $0.$

Thus, the correct answer is B.

25.

Sea $f(x) = \sqrt{ax^2 + bx}.$ ¿Para cuántos valores reales de $a$ existe al menos un valor positivo de $b$ para el cual el dominio de $f$ y el rango de $f$ son el mismo conjunto?

Let $f(x) = \sqrt{ax^2 + bx}.$ For how many real values of $a$ is there at least one positive value of $b$ for which the domain of $f$ and the range of $f$ are the same set?

$0$

$1$

$2$

$3$

infinitos

infinitely many

Conceptos:función radical análisis por casos

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Si $a=0,$ entonces $f(x)=\sqrt{bx}$ tiene dominio y rango ambos iguales a $[0,\infty),$ así que $a=0$ funciona.

Si $a\gt0$ , el dominio es $({-}\infty,-b/a]\cup[0,\infty)$ , mientras que el rango es $[0,\infty)$ , así que no existe tal $b$ .

Si $a\lt0,$ el dominio es $[0,-b/a]$ y el rango es $\left[0,\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}\right].$ Igualando los extremos derechos se obtiene $-\dfrac ba=\dfrac{b}{2\sqrt{-a}},$ así que $2\sqrt{-a}=-a,$ lo que da $a=-4.$

Por lo tanto, hay $2$ valores de $a,$ y la respuesta correcta es C.

If $a=0,$ then $f(x)=\sqrt{bx}$ has domain and range both $[0,\infty),$ so $a=0$ works.

If $a\gt0$ , the domain is $({-}\infty,-b/a]\cup[0,\infty)$ , while the range is $[0,\infty)$ , so no such $b$ exists.

If $a\lt0,$ the domain is $[0,-b/a]$ and the range is $\left[0,\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}\right].$ Equating the right endpoints gives $-\dfrac ba=\dfrac{b}{2\sqrt{-a}},$ so $2\sqrt{-a}=-a,$ giving $a=-4.$

Thus there are $2$ values of $a,$ and the correct answer is C.