Question

Un círculo de radio $2$ está centrado en $A.$ Un triángulo equilátero de lado $4$ tiene un vértice en $A.$ ¿Cuál es la diferencia entre el área de la región que está dentro del círculo pero fuera del triángulo y el área de la región que está dentro del triángulo pero fuera del círculo?

A circle of radius $2$ is centered at $A.$ An equilateral triangle with side $4$ has a vertex at $A.$ What is the difference between the area of the region that lies inside the circle but outside the triangle and the area of the region that lies inside the triangle but outside the circle?

$8 - \pi$

$\pi + 2$

$2\pi - \dfrac{\sqrt2}{2}$

$4(\pi - \sqrt3)$

$2\pi + \dfrac{\sqrt3}{2}$

Solución:

Sea $z$ el área compartida por el círculo y el triángulo. La diferencia pedida es $\begin{aligned} &(\text{circle} - z) - (\text{triangle} - z) \\ &= \text{circle} - \text{triangle}. \end{aligned}$

El círculo tiene área $\pi \cdot 2^2 = 4\pi,$ y el triángulo equilátero tiene área $\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot 4^2 = 4\sqrt3.$ La diferencia es $4\pi - 4\sqrt3 = 4(\pi - \sqrt3).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $z$ be the area shared by the circle and triangle. The requested difference is $\begin{aligned} &(\text{circle} - z) - (\text{triangle} - z) \\ &= \text{circle} - \text{triangle}. \end{aligned}$

The circle has area $\pi \cdot 2^2 = 4\pi,$ and the equilateral triangle has area $\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot 4^2 = 4\sqrt3.$ The difference is $4\pi - 4\sqrt3 = 4(\pi - \sqrt3).$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años