Question

Cada vértice de un cubo debe etiquetarse con un entero de $1$ a $8,$ usando cada entero una sola vez, de modo que la suma de los cuatro números en los vértices de una cara sea la misma para cada cara. Las disposiciones que pueden obtenerse una de otra mediante rotaciones del cubo se consideran iguales. ¿Cuántas disposiciones diferentes son posibles?

Each vertex of a cube is to be labeled with an integer from $1$ through $8,$ with each integer being used once, in such a way that the sum of the four numbers on the vertices of a face is the same for each face. Arrangements that can be obtained from each other through rotations of the cube are considered to be the same. How many different arrangements are possible?

$1$

$3$

$6$

$12$

$24$

Solución:

Cada vértice pertenece a $3$ caras, así que $6S=3(1+2+\cdots+8)=108,$ lo que da una suma por cara $S=18.$

Los subconjuntos de cuatro elementos que contienen $1$ con suma $18$ son $\{1,2,7,8\},$ $\{1,3,6,8\},$ $\{1,4,5,8\},$ y $\{1,4,6,7\}.$ Tres de ellos contienen a la vez $1$ y $8,$ así que $1$ y $8$ deben estar en dos vértices adyacentes.

Rota el cubo de modo que $1$ quede en el vértice inferior izquierdo frontal y $8$ en el vértice inferior derecho frontal. Los números $4,6,7$ deben etiquetar los vértices restantes de la cara que contiene a $1,$ lo cual puede hacerse de $3!=6$ maneras; luego $5,3,2$ quedan forzados en los vértices opuestos. Por lo tanto hay $6$ disposiciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each vertex belongs to $3$ faces, so $6S=3(1+2+\cdots+8)=108,$ giving each face-sum $S=18.$

The four-element subsets containing $1$ with sum $18$ are $\{1,2,7,8\},$ $\{1,3,6,8\},$ $\{1,4,5,8\},$ and $\{1,4,6,7\}.$ Three of these contain both $1$ and $8,$ so $1$ and $8$ must lie on two adjacent vertices.

Rotate the cube so that $1$ is at the lower-left-front vertex and $8$ at the lower-right-front vertex. The numbers $4,6,7$ must label the remaining vertices of the face containing $1,$ which can be done in $3!=6$ ways; then $5,3,2$ are forced onto the opposite vertices. Hence there are $6$ arrangements.

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años