Question

Cada vértice de un cubo debe etiquetarse con un entero de $1$ a $8,$ usando cada entero una sola vez, de modo que la suma de los cuatro números en los vértices de una cara sea la misma para cada cara. Las disposiciones que pueden obtenerse una de otra mediante rotaciones del cubo se consideran iguales. ¿Cuántas disposiciones diferentes son posibles?

Each vertex of a cube is to be labeled with an integer from $1$ through $8,$ with each integer being used once, in such a way that the sum of the four numbers on the vertices of a face is the same for each face. Arrangements that can be obtained from each other through rotations of the cube are considered to be the same. How many different arrangements are possible?

$1$

$3$

$6$

$12$

$24$

Respuesta: C

Conceptos:geometría del cubo análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Cada vértice está en $3$ caras, así que las seis sumas de caras totalizan $3(1+2+\cdots+8)$ .

Each vertex lies on $3$ faces, so the six face-sums total $3(1+2+\cdots+8)$

Pista grande:

La suma por cara es $18;$ demuestra que $1$ y $8$ deben estar en vértices adyacentes.

The face-sum is $18;$ show $1$ and $8$ must be on adjacent vertices

Solución:

Cada vértice pertenece a $3$ caras, así que $6S=3(1+2+\cdots+8)=108,$ y la suma de cada cara es $S=18.$

Los subconjuntos de cuatro elementos que contienen $1$ y suman $18$ son $\{1,2,7,8\},$ $\{1,3,6,8\},$ $\{1,4,5,8\},$ y $\{1,4,6,7\}.$ Solo uno omite $8,$ así que al menos dos de las tres caras distintas que pasan por $1$ contienen $8.$ Dos vértices de un cubo pertenecen a dos caras comunes exactamente cuando son adyacentes; por tanto, $1$ y $8$ son adyacentes.

Rotemos el cubo para que $1$ esté en el vértice inferior izquierdo delantero y $8$ en el inferior derecho delantero. La única cara que pasa por $1$ y no contiene $8$ debe usar $4,6,7,$ que pueden colocarse en $3!=6$ órdenes. Cada orden obliga a poner $5,3,2$ en los tres vértices opuestos, y las demás caras suman entonces $18.$ Por tanto, hay $6$ disposiciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each vertex belongs to $3$ faces, so $6S=3(1+2+\cdots+8)=108,$ giving each face-sum $S=18.$

The four-element subsets containing $1$ with sum $18$ are $\{1,2,7,8\},$ $\{1,3,6,8\},$ $\{1,4,5,8\},$ and $\{1,4,6,7\}.$ Only one omits $8,$ so at least two of the three distinct faces through $1$ contain $8.$ Two vertices of a cube lie on two common faces exactly when they are adjacent; hence $1$ and $8$ are adjacent.

Rotate the cube so that $1$ is at the lower-left-front vertex and $8$ at the lower-right-front vertex. The unique face through $1$ that does not contain $8$ must use $4,6,7,$ and these can be placed in $3!=6$ orders. Each order forces $5,3,2$ at the three opposite vertices, and the remaining face sums are then $18.$ Hence there are $6$ arrangements.

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 12A Problema 14

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años