Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2017 AMC 12A Problema 14

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 14 del 2017 AMC 12A, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2017 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:arreglos con restriccionesinclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1730

14.

Alice se niega a sentarse junto a Bob o a Carla. Derek se niega a sentarse junto a Eric. ¿De cuántas maneras pueden los cinco sentarse en una fila de 55 sillas bajo estas condiciones?

Alice refuses to sit next to either Bob or Carla. Derek refuses to sit next to Eric. How many ways are there for the five of them to sit in a row of 55 chairs under these conditions?

1212

1616

2828

3232

4040

Solución:

Sean X,X, Y,Y, ZZ las formas de sentarse donde Alice-Bob, Alice-Carla y Derek-Eric están adyacentes, respectivamente. La respuesta es 5!−∣X∪Y∪Z∣.5!-|X\cup Y\cup Z|.

Tratar un par prohibido como un bloque da ∣X∣=∣Y∣=∣Z∣=2⋅4!=48.|X|=|Y|=|Z|=2\cdot4!=48. Para las intersecciones, ∣X∩Y∣=2⋅3!=12|X\cap Y|=2\cdot3!=12 (Alice entre Bob y Carla), ∣X∩Z∣=∣Y∩Z∣|X\cap Z|=|Y\cap Z| =2⋅2⋅3!=24,=2\cdot2\cdot3!=24, y ∣X∩Y∩Z∣=2⋅2⋅2!=8.|X\cap Y\cap Z|=2\cdot2\cdot2!=8.

Por inclusión-exclusión, ∣X∪Y∪Z∣=(48⋅3)|X\cup Y\cup Z|=(48\cdot3) −(12+24+24)-(12+24+24) +8=92,+8=92, así que la respuesta es 120−92=28.120-92=28.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let X,X, Y,Y, ZZ be the seatings where Alice-Bob, Alice-Carla, and Derek-Eric are adjacent, respectively. The answer is 5!−∣X∪Y∪Z∣.5!-|X\cup Y\cup Z|.

Treating a forbidden pair as a block gives ∣X∣=∣Y∣=∣Z∣=2⋅4!=48.|X|=|Y|=|Z|=2\cdot4!=48. For intersections, ∣X∩Y∣=2⋅3!=12|X\cap Y|=2\cdot3!=12 (Alice between Bob and Carla), ∣X∩Z∣=∣Y∩Z∣|X\cap Z|=|Y\cap Z| =2⋅2⋅3!=24,=2\cdot2\cdot3!=24, and ∣X∩Y∩Z∣=2⋅2⋅2!=8.|X\cap Y\cap Z|=2\cdot2\cdot2!=8.

By inclusion-exclusion, ∣X∪Y∪Z∣=(48⋅3)|X\cup Y\cup Z|=(48\cdot3) −(12+24+24)-(12+24+24) +8=92,+8=92, so the answer is 120−92=28.120-92=28.

Thus, the correct answer is C.

← Problema 13#13Examen completoProblema 15#15 →

El Problema 14 en otros años

1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B