Question

Bela y Jenn juegan al siguiente juego en el intervalo cerrado $[0, n]$ de la recta de los números reales, donde $n$ es un entero fijo mayor que $4.$ Se turnan para jugar, y Bela empieza. En su primer turno, Bela elige cualquier número real del intervalo $[0, n].$ Después, el jugador al que le toca elige un número real que esté a más de una unidad de distancia de todos los números elegidos previamente por cualquiera de los dos. Un jugador que no pueda elegir tal número pierde. Con estrategia óptima, ¿qué jugador ganará el juego?

Bela and Jenn play the following game on the closed interval $[0, n]$ of the real number line, where $n$ is a fixed integer greater than $4.$ They take turns playing, with Bela going first. At his first turn, Bela chooses any real number in the interval $[0, n].$ Thereafter, the player whose turn it is chooses a real number that is more than one unit away from all numbers previously chosen by either player. A player unable to choose such a number loses. Using optimal strategy, which player will win the game?

Bela siempre ganará.

Bela will always win.

Jenn siempre ganará.

Jenn will always win.

Bela ganará si y solo si $n$ es impar.

Bela will win if and only if $n$ is odd.

Jenn ganará si y solo si $n$ es impar.

Jenn will win if and only if $n$ is odd.

Jenn ganará si y solo si $n \gt 8.$

Jenn will win if and only if $n \gt 8.$

Solución:

Bela juega primero el punto medio $\tfrac{n}{2}.$ Esta elección hace que la configuración sea simétrica respecto al centro del intervalo.

Después, cada vez que Jenn elige un número $x,$ Bela responde con su imagen reflejada $n - x.$ Como la posición era simétrica antes de la jugada de Jenn y su jugada es legal, su reflexión también es legal y distinta. Así, Bela siempre tiene una jugada cuando Jenn la tiene, de modo que Jenn es la primera en quedarse sin movimientos. Bela siempre gana.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Bela first plays the midpoint $\tfrac{n}{2}.$ This choice makes the configuration symmetric about the center of the interval.

Thereafter, whenever Jenn picks a number $x,$ Bela responds with its mirror image $n - x.$ Since the position was symmetric before Jenn moved and her move is legal, its reflection is also legal and distinct. Thus Bela always has a move whenever Jenn does, so Jenn is the first to be stuck. Bela always wins.

Thus, the correct answer is A.

2020 AMC 12B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años