Question

Bela y Jenn juegan al siguiente juego en el intervalo cerrado $[0, n]$ de la recta de los números reales, donde $n$ es un entero fijo mayor que $4.$ Se turnan para jugar, y Bela empieza. En su primer turno, Bela elige cualquier número real del intervalo $[0, n].$ Después, el jugador al que le toca elige un número real que esté a más de una unidad de distancia de todos los números elegidos previamente por cualquiera de los dos. Un jugador que no pueda elegir tal número pierde. Con estrategia óptima, ¿qué jugador ganará el juego?

Bela and Jenn play the following game on the closed interval $[0, n]$ of the real number line, where $n$ is a fixed integer greater than $4.$ They take turns playing, with Bela going first. At his first turn, Bela chooses any real number in the interval $[0, n].$ Thereafter, the player whose turn it is chooses a real number that is more than one unit away from all numbers previously chosen by either player. A player unable to choose such a number loses. Using optimal strategy, which player will win the game?

Bela siempre ganará.

Bela will always win.

Jenn siempre ganará.

Jenn will always win.

Bela ganará si y solo si $n$ es impar.

Bela will win if and only if $n$ is odd.

Jenn ganará si y solo si $n$ es impar.

Jenn will win if and only if $n$ is odd.

Jenn ganará si y solo si $n \gt 8.$

Jenn will win if and only if $n \gt 8.$

Respuesta: A

Conceptos:juego combinatorio simetría

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Considera qué pasa si Bela juega primero exactamente en el punto medio del intervalo.

Consider what happens if Bela plays exactly at the midpoint of the interval first

Pista grande:

Después de ocupar el centro, Bela puede reflejar cada jugada de Jenn a través del punto medio.

After claiming the center, Bela can mirror each of Jenn’s moves through the midpoint

Solución:

Bela juega primero el punto medio $\tfrac{n}{2}.$ Esta elección hace que la configuración sea simétrica respecto al centro del intervalo.

Después, cada vez que Jenn elige un número $x,$ Bela responde con su imagen reflejada $n - x.$ Como Bela ya eligió $\tfrac n2,$ toda jugada legal de Jenn satisface $\left|x-\tfrac n2\right|>1.$ Por tanto, $|x-(n-x)|=2\left|x-\tfrac n2\right|>2,$ de modo que la respuesta de Bela está suficientemente alejada del nuevo punto de Jenn. Por simetría, también está suficientemente alejada de todos los puntos anteriores. Así, Bela siempre tiene una jugada cuando Jenn la tiene, por lo que Jenn es la primera en quedarse sin movimientos. Bela siempre gana.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Bela first plays the midpoint $\tfrac{n}{2}.$ This choice makes the configuration symmetric about the center of the interval.

Thereafter, whenever Jenn picks a number $x,$ Bela responds with its mirror image $n - x.$ Since Bela has already chosen $\tfrac n2,$ Jenn’s legal move satisfies $\left|x-\tfrac n2\right|>1.$ Therefore $|x-(n-x)|=2\left|x-\tfrac n2\right|>2,$ so Bela’s response is far enough from Jenn’s new point. Symmetry shows that it is also far enough from every earlier point. Thus Bela always has a move whenever Jenn does, so Jenn is the first to be stuck. Bela always wins.

Thus, the correct answer is A.

2020 AMC 12B Problema 14

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años