Question

Sean $a\lt b\lt c$ tres enteros tales que $a,$ $b,$ $c$ es una progresión aritmética y $a,$ $c,$ $b$ es una progresión geométrica. ¿Cuál es el menor valor posible de $c$ ?

Let $a\lt b\lt c$ be three integers such that $a,$ $b,$ $c$ is an arithmetic progression and $a,$ $c,$ $b$ is a geometric progression. What is the smallest possible value for $c?$

$-2$

$1$

$2$

$4$

$6$

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Sea $d$ la diferencia común: $b=a+d$ y $c=a+2d$ .

Let the common difference be $d$ : $b=a+d$ and $c=a+2d$

Pista grande:

Como $a,c,b$ es geométrica, $c^2=ab$ ; esto se simplifica a $3a+4d=0$ .

Since $a,c,b$ is geometric, $c^2=ab$ ; this simplifies to $3a+4d=0$

Solución:

Sea $d=b-a\gt0$ , así que $b=a+d$ y $c=a+2d$ . Como $a,c,b$ es geométrica, $\begin{gathered} \dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{c}\\ \implies(a+2d)^2=a(a+d), \end{gathered}$ lo que se simplifica a $3ad+4d^2=0$ , así que $3a+4d=0$ .

Entonces $a=-4k$ y $d=3k$ para un entero positivo $k$ , lo que da $c=a+2d=2k$ . El menor valor es $c=2$ (con $a=-4$ , $b=-1$ , $c=2$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $d=b-a\gt0,$ so $b=a+d$ and $c=a+2d.$ Since $a,c,b$ is geometric, $\begin{gathered} \dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{c}\\ \implies(a+2d)^2=a(a+d), \end{gathered}$ which simplifies to $3ad+4d^2=0,$ so $3a+4d=0.$

Then $a=-4k$ and $d=3k$ for a positive integer $k,$ giving $c=a+2d=2k.$ The smallest value is $c=2$ (with $a=-4,$ $b=-1,$ $c=2$ ).

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12A Problema 14

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años