Question

Un círculo tiene un radio de $\log_{10}(a^2)$ y una circunferencia de $\log_{10}(b^4).$ ¿Cuánto vale $\log_a b$ ?

A circle has a radius of $\log_{10}(a^2)$ and a circumference of $\log_{10}(b^4).$ What is $\log_a b?$

$\dfrac{1}{4\pi}$

$\dfrac{1}{\pi}$

$\pi$

$2\pi$

$10^{2\pi}$

La circunferencia es igual a $2\pi$ por el radio.

Circumference equals $2\pi$ times the radius

Usa $\log_{10}(a^2) = 2\log_{10} a$ y $\log_{10}(b^4) = 4\log_{10} b,$ luego forma $\dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}$ .

Use $\log_{10}(a^2) = 2\log_{10} a$ and $\log_{10}(b^4) = 4\log_{10} b,$ then form $\dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}$

La circunferencia es $2\pi$ por el radio, así que $\log_{10}(b^4) = 2\pi \log_{10}(a^2).$

Reescribiendo, $4\log_{10} b = 4\pi \log_{10} a,$ por lo que $\log_{10} b = \pi \log_{10} a.$

Por lo tanto $\log_a b = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a} = \pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The circumference is $2\pi$ times the radius, so $\log_{10}(b^4) = 2\pi \log_{10}(a^2).$

Rewriting, $4\log_{10} b = 4\pi \log_{10} a,$ hence $\log_{10} b = \pi \log_{10} a.$

Therefore $\log_a b = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a} = \pi.$

Thus, the correct answer is C.