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2008 AMC 12B Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2008 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

El vértice EE del △ABE\triangle ABE equilátero está en el interior del cuadrado unitario ABCD.ABCD. Sea RR la región formada por todos los puntos dentro de ABCDABCD y fuera de △ABE\triangle ABE cuya distancia a AD‾\overline{AD} está entre 13\tfrac{1}{3} y 23.\tfrac{2}{3}. ¿Cuál es el área de RR?
Vertex EE of equilateral △ABE\triangle ABE is in the interior of unit square ABCD.ABCD. Let RR be the region consisting of all points inside ABCDABCD and outside △ABE\triangle ABE whose distance from AD‾\overline{AD} is between 13\tfrac{1}{3} and 23.\tfrac{2}{3}. What is the area of R?R?
12−5372\dfrac{12 - 5\sqrt{3}}{72}
12−5336\dfrac{12 - 5\sqrt{3}}{36}
318\dfrac{\sqrt{3}}{18}
3−39\dfrac{3 - \sqrt{3}}{9}
312\dfrac{\sqrt{3}}{12}
Respuesta: B
Conceptos:geometría analíticatriángulo equiláterocálculo
Nivel de dificultad: 1730
Pista pequeña:
Toma AD‾\overline{AD} como un lado del cuadrado; “distancia a AD‾\overline{AD} entre 13\tfrac13 y 23\tfrac23” es una franja vertical de ancho 13\tfrac13 y área 13\tfrac13.
Take AD‾\overline{AD} as a side of the square; “distance from AD‾\overline{AD} between 13\tfrac13 and 23\tfrac23” is a vertical strip of width 13\tfrac13 and area 13\tfrac13
Pista grande:
De esa área de la franja 13,\tfrac13, resta la parte de la franja que queda dentro del △ABE\triangle ABE.
From that strip’s area 13,\tfrac13, subtract the part of the strip that lies inside △ABE\triangle ABE
Solución:
Coloca A=(0,0),A = (0,0), B=(1,0),B = (1,0), C=(1,1),C = (1,1), D=(0,1),D = (0,1), de modo que AD‾\overline{AD} está sobre el eje yy y la distancia a AD‾\overline{AD} es la coordenada xx. La región está en la franja 13≤x≤23,\tfrac13 \le x \le \tfrac23, que dentro del cuadrado tiene área 13.\tfrac13.
El △ABE\triangle ABE equilátero tiene E=(12,32),E = \left(\tfrac12, \tfrac{\sqrt3}{2}\right), con el lado AEAE sobre y=3 xy = \sqrt3\,x y el lado BEBE sobre y=3(1−x).y = \sqrt3(1 - x). El área del triángulo dentro de la franja es ∫13123 x dx+∫12233(1−x) dx=2∫13123 x dx=5336. \begin{aligned} &\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \sqrt3\,x\,dx \\ &\quad {}+ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{3}} \sqrt3(1 - x)\,dx \\ &= 2\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\sqrt3\,x\,dx \\ &= \frac{5\sqrt3}{36}. \end{aligned}
Por lo tanto [R]=13−5336=12−5336. [R] = \frac13 - \frac{5\sqrt3}{36} = \frac{12 - 5\sqrt3}{36}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Place A=(0,0),A = (0,0), B=(1,0),B = (1,0), C=(1,1),C = (1,1), D=(0,1),D = (0,1), so AD‾\overline{AD} lies along the yy-axis and distance from AD‾\overline{AD} is the xx-coordinate. The region lies in the strip 13≤x≤23,\tfrac13 \le x \le \tfrac23, which within the square has area 13.\tfrac13.
Equilateral △ABE\triangle ABE has E=(12,32),E = \left(\tfrac12, \tfrac{\sqrt3}{2}\right), with side AEAE on y=3 xy = \sqrt3\,x and side BEBE on y=3(1−x).y = \sqrt3(1 - x). The area of the triangle inside the strip is ∫13123 x dx+∫12233(1−x) dx=2∫13123 x dx=5336. \begin{aligned} &\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \sqrt3\,x\,dx \\ &\quad {}+ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{3}} \sqrt3(1 - x)\,dx \\ &= 2\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\sqrt3\,x\,dx \\ &= \frac{5\sqrt3}{36}. \end{aligned}
Therefore [R]=13−5336=12−5336. [R] = \frac13 - \frac{5\sqrt3}{36} = \frac{12 - 5\sqrt3}{36}.
Thus, the correct answer is B.
Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

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