Question

Sea $N$ un múltiplo positivo de $5.$ Una bola roja y $N$ bolas verdes se ordenan en una fila en orden aleatorio. Sea $P(N)$ la probabilidad de que al menos $\dfrac{3}{5}$ de las bolas verdes estén del mismo lado de la bola roja. Observa que $P(5)=1$ y que $P(N)$ tiende a $\dfrac{4}{5}$ cuando $N$ crece. ¿Cuál es la suma de los dígitos del menor valor de $N$ tal que $P(N)\lt\dfrac{321}{400}$ ?

Let $N$ be a positive multiple of $5.$ One red ball and $N$ green balls are arranged in a line in random order. Let $P(N)$ be the probability that at least $\dfrac{3}{5}$ of the green balls are on the same side of the red ball. Observe that $P(5)=1$ and that $P(N)$ approaches $\dfrac{4}{5}$ as $N$ grows large. What is the sum of the digits of the least value of $N$ such that $P(N)\lt\dfrac{321}{400}?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

Solución:

Escribe $N=5k.$ Numera las posiciones de la bola roja $0,1,\ldots,5k$ desde un extremo; hay $5k+1$ posiciones igualmente probables.

Menos de $\dfrac{3}{5}$ de las bolas verdes quedan de cada lado exactamente cuando la bola roja está en una de las posiciones $2k+1,2k+2,\ldots,3k-1,$ que son $k-1$ posiciones. Por lo tanto $P(N)=1-\dfrac{k-1}{5k+1}=\dfrac{4k+2}{5k+1}.$

Al resolver $\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400}$ se obtiene $400(4k+2)\lt 321(5k+1),$ así que $1600k+800\lt 1605k+321$ y $5k\gt 479,$ es decir $k\gt 95.8.$ Por lo tanto $k=96$ y $N=480,$ cuya suma de dígitos es $4+8+0=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write $N=5k.$ Number the positions of the red ball $0,1,\ldots,5k$ from one end; there are $5k+1$ equally likely positions.

Fewer than $\dfrac{3}{5}$ of the green balls lie on each side exactly when the red ball is in one of the positions $2k+1,2k+2,\ldots,3k-1,$ which is $k-1$ positions. Hence $P(N)=1-\dfrac{k-1}{5k+1}=\dfrac{4k+2}{5k+1}.$

Solving $\dfrac{4k+2}{5k+1}\lt\dfrac{321}{400}$ gives $400(4k+2)\lt 321(5k+1),$ so $1600k+800\lt 1605k+321$ and $5k\gt 479,$ meaning $k\gt 95.8.$ Thus $k=96$ and $N=480,$ whose digit sum is $4+8+0=12.$

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años