Question

En un torneo de tenis de mesa cada participante jugó contra cada otro participante exactamente una vez. Aunque había el doble de jugadores diestros que de jugadores zurdos, el número de partidos ganados por los jugadores zurdos fue $40\%$ mayor que el número de partidos ganados por los jugadores diestros. (No hubo empates ni jugadores ambidiestros.) ¿Cuál es el número total de partidos jugados?

In a table tennis tournament every participant played every other participant exactly once. Although there were twice as many right-handed players as left-handed players, the number of games won by left-handed players was $40\%$ more than the number of games won by right-handed players. (There were no ties and no ambidextrous players.) What is the total number of games played?

$15$

$36$

$45$

$48$

$66$

Respuesta: B

Conceptos:combinaciones divisibilidad

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Supón que hay $L$ jugadores zurdos y $2L$ diestros, así que hay $3L$ jugadores en total

Let there be $L$ left-handed and $2L$ right-handed players, so $3L$ players total

Pista grande:

Si los diestros ganan $R$ partidos, el total es $2.4R,$ así que el total debe ser un múltiplo de $12$

If right-handers win $R$ games, the total is $2.4R,$ so the total must be a multiple of $12$

Solución:

Supón que hay $L$ jugadores zurdos y $2L$ diestros, de modo que hay $3L$ jugadores y $\binom{3L}{2}$ partidos en total.

Si los diestros ganan $R$ partidos, los zurdos ganan $1.4R,$ así que el total es $2.4R=\tfrac{12}{5}R.$ Para que ese conteo sea entero, el número total de partidos debe ser un múltiplo de $12.$

Los zurdos pueden ganar a lo sumo todos los partidos en los que interviene al menos un zurdo, es decir $\binom{L}{2}+2L^2=\tfrac{5L^2-L}{2}.$ Por otra parte, deben ganar $\tfrac{7}{12}\binom{3L}{2}=\tfrac{7L(3L-1)}8$ partidos. Al comparar estas cantidades se obtiene $21L-7\le 20L-4,$ así que $L\le 3.$

Probando $L=1,2,3$ se obtienen totales $3,15,36;$ solo $36$ es múltiplo de $12.$ Es alcanzable: los $3$ zurdos pueden ganar los $18$ partidos mixtos y sus $3$ partidos internos, lo que da $21=1.4\cdot 15$ victorias.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let there be $L$ left-handed and $2L$ right-handed players, for $3L$ players and $\binom{3L}{2}$ games total.

If right-handers win $R$ games, left-handers win $1.4R,$ so the total is $2.4R=\tfrac{12}{5}R.$ For this to be an integer count, the total number of games must be a multiple of $12.$

The left-handers can win at most every game involving at least one left-hander, namely $\binom{L}{2}+2L^2=\tfrac{5L^2-L}{2}.$ On the other hand, they must win $\tfrac{7}{12}\binom{3L}{2}=\tfrac{7L(3L-1)}8$ games. Comparing these quantities gives $21L-7\le 20L-4,$ so $L\le 3.$

Testing $L=1,2,3$ gives totals $3,15,36;$ only $36$ is a multiple of $12.$ It is achievable: the $3$ left-handers can win all $18$ mixed games and their $3$ internal games, giving $21=1.4\cdot 15$ wins.

Thus, the correct answer is B.

2023 AMC 12A Problema 13

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años