Question

¿Cuál es el valor de $\begin{gathered} 2^3-1^3+4^3-3^3+6^3-5^3\\ {}+\cdots+18^3-17^3? \end{gathered}$

What is the value of $\begin{gathered} 2^3-1^3+4^3-3^3+6^3-5^3\\ {}+\cdots+18^3-17^3? \end{gathered}$

$2023$

$2679$

$2941$

$3159$

$3235$

Respuesta: D

Conceptos:suma y diferencia de cubos suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Agrupa los términos en pares $(2k)^3-(2k-1)^3$ para $k=1$ hasta $9$

Group the terms into pairs $(2k)^3-(2k-1)^3$ for $k=1$ to $9$

Pista grande:

Cada par es igual a $12k^2-6k+1;$ suma usando $\sum k^2$ y $\sum k$

Each pair equals $12k^2-6k+1;$ sum using $\sum k^2$ and $\sum k$

Solución:

Agrupa en pares $(2k)^3-(2k-1)^3$ para $k=1,\ldots,9.$ Al desarrollar, $\begin{gathered} (2k)^3-(2k-1)^3\\ {}=12k^2-6k+1. \end{gathered}$

Sumando para $k=1$ hasta $9,$ con $\sum k^2=285$ y $\sum k=45,$ se obtiene $\begin{gathered} 12\cdot 285-6\cdot 45+9\\ {}=3420-270+9\\ {}=3159. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Group into pairs $(2k)^3-(2k-1)^3$ for $k=1,\ldots,9.$ Expanding, $\begin{gathered} (2k)^3-(2k-1)^3\\ {}=12k^2-6k+1. \end{gathered}$

Summing for $k=1$ to $9,$ with $\sum k^2=285$ and $\sum k=45,$ gives $\begin{gathered} 12\cdot 285-6\cdot 45+9\\ {}=3420-270+9\\ {}=3159. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2023 AMC 12A Problema 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años