Question

Ambas raíces de la ecuación cuadrática $x^2 - 63x + k = 0$ son números primos. El número de valores posibles de $k$ es

Both roots of the quadratic equation $x^2 - 63x + k = 0$ are prime numbers. The number of possible values of $k$ is

$0$

$1$

$2$

$4$

más de cuatro

more than four

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta primo paridad

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Si las raíces son los primos $p$ y $q,$ entonces $p + q = 63$ .

If the roots are primes $p$ and $q,$ then $p + q = 63$

Pista grande:

Una suma impar obliga a que uno de los primos sea $2$ .

An odd sum forces one of the primes to be $2$

Solución:

Si las raíces son los primos $p$ y $q,$ entonces por las fórmulas de Vieta $p + q = 63$ y $pq = k.$

Como $63$ es impar, uno de los primos debe ser par, es decir $2,$ y el otro es $61.$ Ambos son primos, así que $k = 2\cdot 61 = 122$ es el único valor posible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the roots are primes $p$ and $q,$ then by Vieta’s formulas $p + q = 63$ and $pq = k.$

Since $63$ is odd, one prime must be even, namely $2,$ and the other is $61.$ Both are prime, so $k = 2\cdot 61 = 122$ is the only possible value.

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 12A Problema 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años