Question

¿Cuántas sucesiones de ceros y/o unos de longitud $20$ tienen todos los ceros consecutivos, o todos los unos consecutivos, o ambas cosas?

How many sequences of zeros and/or ones of length $20$ have all the zeros consecutive, or all the ones consecutive, or both?

$190$

$192$

$211$

$380$

$382$

Respuesta: E

Conceptos:inclusión-exclusión combinaciones

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Sea $A$ el conjunto de sucesiones con todos los ceros juntos y $B$ las de todos los unos juntos, luego usa $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ .

Let $A$ be the sequences with all zeros together and $B$ those with all ones together, then use $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

Pista grande:

Una sucesión con los ceros juntos queda determinada al elegir la posición del primer y del último cero, lo que da $1+20+\binom{20}{2}$ de ellas.

A sequence with the zeros together is fixed by choosing the first and last zero positions, giving $1+20+\binom{20}{2}$ of them

Solución:

Sea $A$ el conjunto de sucesiones en las que todos los ceros son consecutivos y $B$ aquellas en las que todos los unos son consecutivos.

Para $A,$ hay una sucesión con todos unos, $20$ sucesiones con exactamente un cero, y $\binom{20}{2}=190$ sucesiones con dos o más ceros (se elige la posición del primer y del último cero). Así que $|A|=1+20+190=211,$ y por simetría $|B|=211.$

Una sucesión en $A\cap B$ es un bloque de ceros seguido de un bloque de unos, o al revés; hay $|A\cap B|=40$ de estas.

Por lo tanto $|A\cup B|=211+211-40$ $=382.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $A$ be the sequences in which all zeros are consecutive and $B$ those in which all ones are consecutive.

For $A,$ there is one all-ones sequence, $20$ sequences with exactly one zero, and $\binom{20}{2}=190$ sequences with two or more zeros (choose the first and last zero position). So $|A|=1+20+190=211,$ and by symmetry $|B|=211.$

A sequence in $A\cap B$ is a block of zeros followed by a block of ones, or the reverse; there are $|A\cap B|=40$ of these.

Therefore $|A\cup B|=211+211-40$ $=382.$

Thus, the correct answer is E.

2012 AMC 12B Problema 12

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años