1984 AMC 12 Problema 12

Intenta el Problema 12 del 1984 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1984 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Si la sucesión $\{a_n\}$ se define mediante $\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_{n+1}&=a_n+2n\quad(n\ge1), \end{aligned}$ entonces $a_{100}$ es igual a

If the sequence $\{a_n\}$ is defined by $\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_{n+1}&=a_n+2n\quad(n\ge1), \end{aligned}$ then $a_{100}$ equals

$9900$

$9902$

$9904$

$10100$

$10102$

Respuesta: B

Conceptos:recursión sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Suma todos los incrementos desde $a_1$ hasta $a_{100}$

Add all increments from $a_1$ through $a_{100}$

Pista grande:

Usa $a_{100}=2+2(1+2+\cdots+99)$

Use $a_{100}=2+2(1+2+\cdots+99)$

Solución:

Al telescopar la recurrencia se obtiene $\begin{aligned} a_{100} &=a_1+2\sum_{n=1}^{99}n\\ &=2+2\cdot\frac{99\cdot100}{2}\\ &=9902. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Telescoping the recurrence gives $\begin{aligned} a_{100} &=a_1+2\sum_{n=1}^{99}n\\ &=2+2\cdot\frac{99\cdot100}{2}\\ &=9902. \end{aligned}$ Therefore, the correct answer is B.

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