Question

Sean $a,$ $b,$ y $c$ tres números distintos de un solo dígito. ¿Cuál es el máximo valor de la suma de las raíces de la ecuación $(x - a)(x - b)$ $+ (x - b)(x - c) = 0$ ?

Let $a,$ $b,$ and $c$ be three distinct one-digit numbers. What is the maximum value of the sum of the roots of the equation $(x - a)(x - b)$ $+ (x - b)(x - c) = 0?$

$15$

$15.5$

$16$

$16.5$

$17$

Respuesta: D

Conceptos:factorización optimización

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Factoriza el $(x - b)$ común

Factor out the common $(x - b)$

Pista grande:

Las raíces son $b$ y $\dfrac{a + c}{2};$ maximiza $b + \dfrac{a + c}{2}$ sobre dígitos distintos.

The roots are $b$ and $\dfrac{a + c}{2};$ maximize $b + \dfrac{a + c}{2}$ over distinct digits

Solución:

Factorizar da $(x - b)\bigl(2x - (a + c)\bigr) = 0,$ así que las raíces son $b$ y $\dfrac{a + c}{2}.$ Su suma es $b + \dfrac{a + c}{2}.$

Usando dígitos distintos, toma $b = 9$ y $a + c = 8 + 7 = 15,$ dando $9 + 7.5 = 16.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factoring gives $(x - b)\bigl(2x - (a + c)\bigr) = 0,$ so the roots are $b$ and $\dfrac{a + c}{2}.$ Their sum is $b + \dfrac{a + c}{2}.$

Using distinct digits, take $b = 9$ and $a + c = 8 + 7 = 15,$ giving $9 + 7.5 = 16.5.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12B Problema 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años