Soluciones del 2015 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $2 - (-2)^{-2}$ ?

What is the value of $2 - (-2)^{-2}?$

$-2$

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{7}{4}$

$\dfrac{9}{4}$

$6$

Conceptos:exponente orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

$a^{-2} = \dfrac{1}{a^2}$ .

$a^{-2} = \dfrac{1}{a^2}$

Pista grande:

$(-2)^2 = 4,$ así que resta $\dfrac14$ de $2$ .

$(-2)^2 = 4,$ so subtract $\dfrac14$ from $2$

Solución:

Como $(-2)^{-2} = \dfrac{1}{(-2)^2} = \dfrac14,$ obtenemos $2 - \dfrac14 = \dfrac74.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $(-2)^{-2} = \dfrac{1}{(-2)^2} = \dfrac14,$ we get $2 - \dfrac14 = \dfrac74.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Marie realiza tres tareas igualmente demoradas una tras otra sin tomar descansos. Comienza la primera tarea a la $1{:}00$ PM y termina la segunda tarea a las $2{:}40$ PM. ¿Cuándo termina la tercera tarea?

Marie does three equally time-consuming tasks in a row without taking breaks. She begins the first task at $1{:}00$ PM and finishes the second task at $2{:}40$ PM. When does she finish the third task?

$3{:}10$ PM

$3{:}30$ PM

$4{:}00$ PM

$4{:}10$ PM

$4{:}30$ PM

Conceptos:fecha y hora tasa

Nivel de dificultad: 910

Pista pequeña:

Las primeras dos tareas van de la $1{:}00$ a las $2{:}40,$ lo que son $100$ minutos

The first two tasks span $1{:}00$ to $2{:}40,$ which is $100$ minutes

Pista grande:

Divide entre $2$ para obtener la duración de una tarea, luego súmala después de las $2{:}40$

Divide by $2$ to get one task’s length, then add it after $2{:}40$

Solución:

Las primeras dos tareas juntas toman $100$ minutos, así que cada tarea toma $50$ minutos.

La tercera tarea termina $50$ minutos después de las $2{:}40$ PM, a las $3{:}30$ PM.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first two tasks together take $100$ minutes, so each task takes $50$ minutes.

The third task finishes $50$ minutes after $2{:}40$ PM, at $3{:}30$ PM.

Thus, the correct answer is B.

3.

Isaac ha escrito un entero dos veces y otro entero tres veces. La suma de los cinco números es $100,$ y uno de los números es $28.$ ¿Cuál es el otro número?

Isaac has written down one integer two times and another integer three times. The sum of the five numbers is $100,$ and one of the numbers is $28.$ What is the other number?

$8$

$11$

$14$

$15$

$18$

Conceptos:Ecuación diofántica divisibilidad

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Sea $x$ el que aparece dos veces y $y$ el que aparece tres veces, de modo que $2x + 3y = 100$ .

Let $x$ appear twice and $y$ appear three times, so $2x + 3y = 100$

Pista grande:

Prueba si $28$ es el número escrito dos veces o tres veces, y conserva el caso entero

Test whether $28$ is the number written two times or three times, and keep the integer case

Solución:

Escribe $2x + 3y = 100.$ Si $28$ se escribiera dos veces, entonces $3y = 100 - 56 = 44,$ que no es múltiplo de $3.$

Así que $28$ se escribe tres veces: $2x = 100 - 84 = 16,$ de donde $x = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write $2x + 3y = 100.$ If $28$ were written twice, then $3y = 100 - 56 = 44,$ which is not a multiple of $3.$

So $28$ is written three times: $2x = 100 - 84 = 16,$ giving $x = 8.$

Thus, the correct answer is A.

4.

David, Hikmet, Jack, Marta, Rand y Todd participaron en una carrera de $12$ personas junto con otras $6$ . Rand terminó $6$ puestos por delante de Hikmet. Marta terminó $1$ puesto por detrás de Jack. David terminó $2$ puestos por detrás de Hikmet. Jack terminó $2$ puestos por detrás de Todd. Todd terminó $1$ puesto por detrás de Rand. Marta terminó en el $6$ º puesto. ¿Quién terminó en el $8$ º puesto?

David, Hikmet, Jack, Marta, Rand, and Todd were in a $12$ -person race with $6$ other people. Rand finished $6$ places ahead of Hikmet. Marta finished $1$ place behind Jack. David finished $2$ places behind Hikmet. Jack finished $2$ places behind Todd. Todd finished $1$ place behind Rand. Marta finished in $6$ th place. Who finished in $8$ th place?

David

Hikmet

Jack

Rand

Todd

Conceptos:deducción lógica trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Empieza con Marta en el $6$ º puesto y usa cada diferencia indicada

Start from Marta in $6$ th place and use each stated gap

Pista grande:

Marta está $1$ puesto detrás de Jack, así que Jack es $5$ º; encadena hasta Todd, luego Rand, luego Hikmet

Marta is $1$ behind Jack, so Jack is $5$ th; chain to Todd, then Rand, then Hikmet

Solución:

Marta es $6$ º, así que Jack es $5$ º. Jack está $2$ puestos detrás de Todd, así que Todd es $3$ º. Todd está $1$ puesto detrás de Rand, así que Rand es $2$ º.

Rand está $6$ puestos por delante de Hikmet, así que Hikmet es $8$ º. (David es $10$ º.)

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Marta is $6$ th, so Jack is $5$ th. Jack is $2$ behind Todd, so Todd is $3$ rd. Todd is $1$ behind Rand, so Rand is $2$ nd.

Rand is $6$ ahead of Hikmet, so Hikmet is $8$ th. (David is $10$ th.)

Thus, the correct answer is B.

5.

Los Tigers vencieron a los Sharks $2$ de las primeras $3$ veces que jugaron. Luego jugaron $N$ veces más, y los Sharks terminaron ganando al menos el $95\%$ de todos los partidos jugados. ¿Cuál es el mínimo valor posible de $N$ ?

The Tigers beat the Sharks $2$ out of the first $3$ times they played. They then played $N$ more times, and the Sharks ended up winning at least $95\%$ of all the games played. What is the minimum possible value for $N?$

$35$

$37$

$39$

$41$

$43$

Conceptos:porcentaje desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Para minimizar $N,$ haz que los Sharks ganen los $N$ partidos adicionales

To minimize $N,$ let the Sharks win all $N$ additional games

Pista grande:

Resuelve $\dfrac{1 + N}{3 + N} \ge \dfrac{95}{100}$ .

Solve $\dfrac{1 + N}{3 + N} \ge \dfrac{95}{100}$

Solución:

Los Sharks ganaron $1$ de los primeros $3$ partidos. Para alcanzar el $95\%$ con la menor cantidad de partidos extra, deberían ganar los $N$ partidos adicionales, dando una fracción de victorias $\dfrac{1 + N}{3 + N}.$

Exigir $\dfrac{1 + N}{3 + N} \ge \dfrac{19}{20}$ da $20 + 20N \ge 57 + 19N,$ así que $N \ge 37.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The Sharks won $1$ of the first $3$ games. To reach $95\%$ with the fewest extra games, they should win all $N$ additional games, giving a win fraction $\dfrac{1 + N}{3 + N}.$

Requiring $\dfrac{1 + N}{3 + N} \ge \dfrac{19}{20}$ gives $20 + 20N \ge 57 + 19N,$ so $N \ge 37.$

Thus, the correct answer is B.

6.

Allá por $1930,$ Tillie tenía que memorizar sus tablas de multiplicar desde $0 \times 0$ hasta $12 \times 12.$ La tabla de multiplicar que le dieron tenía las filas y columnas rotuladas con los factores, y los productos formaban el cuerpo de la tabla. Redondeando a la centésima más cercana, ¿qué fracción de los números en el cuerpo de la tabla son impares?

Back in $1930,$ Tillie had to memorize her multiplication facts from $0 \times 0$ through $12 \times 12.$ The multiplication table she was given had rows and columns labeled with the factors, and the products formed the body of the table. To the nearest hundredth, what fraction of the numbers in the body of the table are odd?

$0.21$

$0.25$

$0.46$

$0.50$

$0.75$

Conceptos:paridad conteo básico

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Un producto es impar solo cuando ambos factores son impares

A product is odd only when both factors are odd

Pista grande:

Cuenta los números impares de $0$ a $12,$ luego compáralos con las $13 \times 13$ entradas

Count the odd numbers from $0$ to $12,$ then compare with the $13 \times 13$ entries

Solución:

El cuerpo tiene $13 \times 13 = 169$ entradas. Un producto es impar exactamente cuando ambos factores son impares.

Hay $6$ números impares entre $0, 1, \ldots, 12,$ lo que da $6 \times 6 = 36$ entradas impares. La fracción es $\dfrac{36}{169} = 0.213\ldots \approx 0.21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The body has $13 \times 13 = 169$ entries. A product is odd exactly when both factors are odd.

There are $6$ odd numbers among $0, 1, \ldots, 12,$ giving $6 \times 6 = 36$ odd entries. The fraction is $\dfrac{36}{169} = 0.213\ldots \approx 0.21.$

Thus, the correct answer is A.

7.

Un $15$ -ágono regular tiene $L$ ejes de simetría, y el menor ángulo positivo para el cual tiene simetría rotacional es $R$ grados. ¿Cuánto es $L + R$ ?

A regular $15$ -gon has $L$ lines of symmetry, and the smallest positive angle for which it has rotational symmetry is $R$ degrees. What is $L + R?$

$24$

$27$

$32$

$39$

$54$

Conceptos:polígono regular simetría

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Un $n$ -ágono regular tiene $n$ ejes de simetría

A regular $n$ -gon has $n$ lines of symmetry

Pista grande:

Su menor ángulo de simetría rotacional es $\dfrac{360^\circ}{n}$ .

Its smallest rotational symmetry angle is $\dfrac{360^\circ}{n}$

Solución:

Un $15$ -ágono regular tiene $L = 15$ ejes de simetría, y su menor ángulo de simetría rotacional es $R = \dfrac{360}{15} = 24$ grados.

Entonces $L + R = 15 + 24 = 39.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A regular $15$ -gon has $L = 15$ lines of symmetry, and its smallest angle of rotational symmetry is $R = \dfrac{360}{15} = 24$ degrees.

Then $L + R = 15 + 24 = 39.$

Thus, the correct answer is D.

8.

¿Cuál es el valor de $\left(625^{\log_5 2015}\right)^{\frac14}$ ?

What is the value of $\left(625^{\log_5 2015}\right)^{\frac14}?$

$5$

$\sqrt[4]{2015}$

$625$

$2015$

$\sqrt[4]{5^{2015}}$

Conceptos:logaritmo exponente

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

$625 = 5^4$ .

$625 = 5^4$

Pista grande:

Usa $5^{\log_5 x} = x$ después de reunir los exponentes.

Use $5^{\log_5 x} = x$ after collecting the exponents

Solución:

Como $625 = 5^4,$ tenemos $\begin{gathered} 625^{\log_5 2015} = 5^{4\log_5 2015} \\ = \left(5^{\log_5 2015}\right)^4 = 2015^4. \end{gathered}$

Tomar la raíz cuarta da $\left(2015^4\right)^{\frac{1}{4}} = 2015.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $625 = 5^4,$ we have $\begin{gathered} 625^{\log_5 2015} = 5^{4\log_5 2015} \\ = \left(5^{\log_5 2015}\right)^4 = 2015^4. \end{gathered}$

Taking the fourth root gives $\left(2015^4\right)^{\frac{1}{4}} = 2015.$

Thus, the correct answer is D.

9.

Larry y Julius juegan un juego, lanzando por turnos una pelota a una botella colocada en una repisa. Larry lanza primero. El ganador es la primera persona en tirar la botella de la repisa. En cada turno la probabilidad de que un jugador tire la botella de la repisa es $\dfrac12,$ independientemente de lo que haya sucedido antes. ¿Cuál es la probabilidad de que Larry gane el juego?

Larry and Julius are playing a game, taking turns throwing a ball at a bottle sitting on a ledge. Larry throws first. The winner is the first person to knock the bottle off the ledge. At each turn the probability that a player knocks the bottle off the ledge is $\dfrac12,$ independently of what has happened before. What is the probability that Larry wins the game?

$\dfrac12$

$\dfrac35$

$\dfrac23$

$\dfrac34$

$\dfrac45$

Conceptos:probabilidad recursiva sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Larry gana de inmediato con probabilidad $\dfrac12$

Larry wins immediately with probability $\dfrac12$

Pista grande:

Si ambos fallan (probabilidad $\dfrac14$ ), el juego se reinicia; resuelve $x = \dfrac12 + \dfrac14 x$

If both miss (probability $\dfrac14$ ), the game resets; solve $x = \dfrac12 + \dfrac14 x$

Solución:

Sea $x$ la probabilidad de que Larry gane. Gana enseguida con probabilidad $\dfrac12,$ o ambos jugadores fallan (probabilidad $\dfrac14$ ) y el juego vuelve a empezar.

Así que $x = \dfrac12 + \dfrac14 x,$ de donde $\dfrac34 x = \dfrac12$ y $x = \dfrac23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $x$ be the probability Larry wins. He wins right away with probability $\dfrac12,$ or both players miss (probability $\dfrac14$ ) and the game restarts.

So $x = \dfrac12 + \dfrac14 x,$ giving $\dfrac34 x = \dfrac12$ and $x = \dfrac23.$

Thus, the correct answer is C.

10.

¿Cuántos triángulos no congruentes de lados enteros, con área positiva y perímetro menor que $15$ , no son equiláteros, ni isósceles, ni rectángulos?

How many noncongruent integer-sided triangles with positive area and perimeter less than $15$ are neither equilateral, isosceles, nor right triangles?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:desigualdad triangular enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Con lados $a \lt b \lt c,$ la desigualdad triangular da un perímetro $\gt 2c$ .

With sides $a \lt b \lt c,$ the triangle inequality gives perimeter $\gt 2c$

Pista grande:

Esto obliga a $c \le 6;$ enumera las ternas escalenas y descarta el triángulo rectángulo $3, 4, 5$ .

This forces $c \le 6;$ list scalene triples and drop the right triangle $3, 4, 5$

Solución:

Sean los lados distintos $a \lt b \lt c.$ Como $a + b \gt c,$ el perímetro supera $2c,$ así que $2c \lt 15$ y $c \le 6.$

Las ternas escalenas con perímetro menor que $15$ son $(6,5,3),$ $(6,5,2),$ $(6,4,3),$ $(5,4,3),$ $(5,4,2),$ y $(4,3,2).$ De estas, solo $(5,4,3)$ es un triángulo rectángulo, dejando $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the distinct sides be $a \lt b \lt c.$ Since $a + b \gt c,$ the perimeter exceeds $2c,$ so $2c \lt 15$ and $c \le 6.$

The scalene triples with perimeter less than $15$ are $(6,5,3),$ $(6,5,2),$ $(6,4,3),$ $(5,4,3),$ $(5,4,2),$ and $(4,3,2).$ Of these, only $(5,4,3)$ is a right triangle, leaving $5.$

Thus, the correct answer is C.

11.

La recta $12x + 5y = 60$ forma un triángulo con los ejes coordenados. ¿Cuál es la suma de las longitudes de las alturas de este triángulo?

The line $12x + 5y = 60$ forms a triangle with the coordinate axes. What is the sum of the lengths of the altitudes of this triangle?

$20$

$\dfrac{360}{17}$

$\dfrac{107}{5}$

$\dfrac{43}{2}$

$\dfrac{281}{13}$

Conceptos:geometría analítica triángulo rectángulo altura

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Las intersecciones son $(5, 0)$ y $(0, 12),$ así que los catetos son $5$ y $12$ .

The intercepts are $(5, 0)$ and $(0, 12),$ so the legs are $5$ and $12$

Pista grande:

Dos alturas son los catetos; la tercera es $\dfrac{2 \cdot \text{área}}{\text{hipotenusa}}$ .

Two altitudes are the legs; the third is $\dfrac{2 \cdot \text{area}}{\text{hypotenuse}}$

Solución:

La recta corta a los ejes en $(5, 0)$ y $(0, 12),$ así que el triángulo es rectángulo con catetos $5$ y $12$ e hipotenusa $13.$ Su área es $30.$

Dos alturas son los catetos $5$ y $12;$ la altura sobre la hipotenusa es $\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13}.$ La suma es $17 + \dfrac{60}{13} = \dfrac{281}{13}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The line meets the axes at $(5, 0)$ and $(0, 12),$ so the triangle is right with legs $5$ and $12$ and hypotenuse $13.$ Its area is $30.$

Two altitudes are the legs $5$ and $12;$ the altitude to the hypotenuse is $\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13}.$ The sum is $17 + \dfrac{60}{13} = \dfrac{281}{13}.$

Thus, the correct answer is E.

12.

Sean $a,$ $b,$ y $c$ tres números distintos de un solo dígito. ¿Cuál es el máximo valor de la suma de las raíces de la ecuación $(x - a)(x - b)$ $+ (x - b)(x - c) = 0$ ?

Let $a,$ $b,$ and $c$ be three distinct one-digit numbers. What is the maximum value of the sum of the roots of the equation $(x - a)(x - b)$ $+ (x - b)(x - c) = 0?$

$15$

$15.5$

$16$

$16.5$

$17$

Conceptos:factorización optimización

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Factoriza el $(x - b)$ común

Factor out the common $(x - b)$

Pista grande:

Las raíces son $b$ y $\dfrac{a + c}{2};$ maximiza $b + \dfrac{a + c}{2}$ sobre dígitos distintos.

The roots are $b$ and $\dfrac{a + c}{2};$ maximize $b + \dfrac{a + c}{2}$ over distinct digits

Solución:

Factorizar da $(x - b)\bigl(2x - (a + c)\bigr) = 0,$ así que las raíces son $b$ y $\dfrac{a + c}{2}.$ Su suma es $b + \dfrac{a + c}{2}.$

Usando dígitos distintos, toma $b = 9$ y $a + c = 8 + 7 = 15,$ dando $9 + 7.5 = 16.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factoring gives $(x - b)\bigl(2x - (a + c)\bigr) = 0,$ so the roots are $b$ and $\dfrac{a + c}{2}.$ Their sum is $b + \dfrac{a + c}{2}.$

Using distinct digits, take $b = 9$ and $a + c = 8 + 7 = 15,$ giving $9 + 7.5 = 16.5.$

Thus, the correct answer is D.

13.

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo con $\angle BAC = 70^\circ,$ $\angle ADB = 40^\circ,$ $AD = 4,$ y $BC = 6.$ ¿Cuánto es $AC$ ?

Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle with $\angle BAC = 70^\circ,$ $\angle ADB = 40^\circ,$ $AD = 4,$ and $BC = 6.$ What is $AC?$

$3 + \sqrt5$

$6$

$\dfrac92\sqrt2$

$8 - \sqrt2$

$7$

Conceptos:cuadrilátero cíclico ángulo inscrito triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

$\angle BAC$ y $\angle BDC$ subtienden el mismo arco $BC$ .

$\angle BAC$ and $\angle BDC$ subtend the same arc $BC$

Pista grande:

Encuentra $\angle ABC,$ luego compáralo con $\angle BAC$ para mostrar que $\triangle ABC$ es isósceles

Find $\angle ABC,$ then compare it with $\angle BAC$ to show $\triangle ABC$ is isosceles

Solución:

Los ángulos $BAC$ y $BDC$ subtienden el arco $BC,$ así que $\angle BDC = 70^\circ.$ Entonces $\angle ADC = \angle ADB$ $+ \angle BDC = 110^\circ.$

Como $ABCD$ es cíclico, $\angle ABC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ $= \angle BAC.$ Así $\triangle ABC$ es isósceles con $AC = BC = 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Angles $BAC$ and $BDC$ subtend arc $BC,$ so $\angle BDC = 70^\circ.$ Then $\angle ADC = \angle ADB$ $+ \angle BDC = 110^\circ.$

Since $ABCD$ is cyclic, $\angle ABC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ $= \angle BAC.$ Thus $\triangle ABC$ is isosceles with $AC = BC = 6.$

Thus, the correct answer is B.

14.

Un círculo de radio $2$ está centrado en $A.$ Un triángulo equilátero de lado $4$ tiene un vértice en $A.$ ¿Cuál es la diferencia entre el área de la región que está dentro del círculo pero fuera del triángulo y el área de la región que está dentro del triángulo pero fuera del círculo?

A circle of radius $2$ is centered at $A.$ An equilateral triangle with side $4$ has a vertex at $A.$ What is the difference between the area of the region that lies inside the circle but outside the triangle and the area of the region that lies inside the triangle but outside the circle?

$8 - \pi$

$\pi + 2$

$2\pi - \dfrac{\sqrt2}{2}$

$4(\pi - \sqrt3)$

$2\pi + \dfrac{\sqrt3}{2}$

Conceptos:descomposición de áreas área del círculo triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Sea $z$ el área de solapamiento; la diferencia pedida es $(\text{círculo} - z) - (\text{triángulo} - z)$

Let $z$ be the overlap area; the requested difference is $(\text{circle} - z) - (\text{triangle} - z)$

Pista grande:

Eso es igual al área del círculo menos el área del triángulo; usa $\pi r^2$ y $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$ .

That equals circle area minus triangle area; use $\pi r^2$ and $\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$

Solución:

Sea $z$ el área compartida por el círculo y el triángulo. La diferencia pedida es $\begin{aligned} &(\text{círculo} - z) - (\text{triángulo} - z) \\ &= \text{círculo} - \text{triángulo}. \end{aligned}$

El círculo tiene área $\pi \cdot 2^2 = 4\pi,$ y el triángulo equilátero tiene área $\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot 4^2 = 4\sqrt3.$ La diferencia es $4\pi - 4\sqrt3 = 4(\pi - \sqrt3).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $z$ be the area shared by the circle and triangle. The requested difference is $\begin{aligned} &(\text{circle} - z) - (\text{triangle} - z) \\ &= \text{circle} - \text{triangle}. \end{aligned}$

The circle has area $\pi \cdot 2^2 = 4\pi,$ and the equilateral triangle has area $\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot 4^2 = 4\sqrt3.$ The difference is $4\pi - 4\sqrt3 = 4(\pi - \sqrt3).$

Thus, the correct answer is D.

15.

En la escuela de Rachelle una A vale $4$ puntos, una B $3$ puntos, una C $2$ puntos, y una D $1$ punto. Su GPA en las cuatro clases que cursa se calcula como la suma total de puntos dividida entre $4.$ Está segura de que obtendrá A en Matemáticas y en Ciencias, y al menos una C en cada una de Inglés e Historia. Cree que tiene $\dfrac16$ de probabilidad de obtener una A en Inglés, y $\dfrac14$ de probabilidad de obtener una B. En Historia, tiene $\dfrac14$ de probabilidad de obtener una A, y $\dfrac13$ de probabilidad de obtener una B, independientemente de lo que obtenga en Inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que Rachelle obtenga un GPA de al menos $3.5$ ?

At Rachelle’s school an A counts $4$ points, a B $3$ points, a C $2$ points, and a D $1$ point. Her GPA on the four classes she is taking is computed as the total sum of points divided by $4.$ She is certain that she will get As in both Mathematics and Science, and at least a C in each of English and History. She thinks she has a $\dfrac16$ chance of getting an A in English, and a $\dfrac14$ chance of getting a B. In History, she has a $\dfrac14$ chance of getting an A, and a $\dfrac13$ chance of getting a B, independently of what she gets in English. What is the probability that Rachelle will get a GPA of at least $3.5?$

$\dfrac{11}{72}$

$\dfrac16$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{11}{24}$

$\dfrac12$

Conceptos:eventos independientes análisis por casos

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Un GPA de $3.5$ necesita $14$ puntos en total, así que Inglés e Historia deben dar al menos $6$ puntos

A $3.5$ GPA needs $14$ total points, so English and History must give at least $6$ points

Pista grande:

Encuentra la probabilidad de una C en cada clase, luego suma las probabilidades de los totales $6,$ $7,$ y $8$

Find each class’s chance of a C, then add the probabilities of totals $6,$ $7,$ and $8$

Solución:

Matemáticas y Ciencias dan $8$ puntos, así que Rachelle necesita al menos $6$ más de Inglés e Historia. La probabilidad de una C es $1 - \dfrac16 - \dfrac14 = \dfrac{7}{12}$ en Inglés y $1 - \dfrac14 - \dfrac13 = \dfrac{5}{12}$ en Historia.

Trabajando sobre un denominador de $144:$ $8$ puntos tiene probabilidad $\dfrac16\cdot\dfrac14 = \dfrac{6}{144};$ $7$ puntos tiene $\dfrac16\cdot\dfrac13 + \dfrac14\cdot\dfrac14 = \dfrac{17}{144};$ y $6$ puntos tiene $\dfrac16\cdot\dfrac{5}{12} + \dfrac14\cdot\dfrac13$ $+ \dfrac{7}{12}\cdot\dfrac14 = \dfrac{43}{144}.$

El total es $\dfrac{6 + 17 + 43}{144} = \dfrac{66}{144} = \dfrac{11}{24}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Math and Science give $8$ points, so Rachelle needs at least $6$ more from English and History. The chance of a C is $1 - \dfrac16 - \dfrac14 = \dfrac{7}{12}$ in English and $1 - \dfrac14 - \dfrac13 = \dfrac{5}{12}$ in History.

Working over a denominator of $144:$ $8$ points has probability $\dfrac16\cdot\dfrac14 = \dfrac{6}{144};$ $7$ points has $\dfrac16\cdot\dfrac13 + \dfrac14\cdot\dfrac14 = \dfrac{17}{144};$ and $6$ points has $\dfrac16\cdot\dfrac{5}{12} + \dfrac14\cdot\dfrac13$ $+ \dfrac{7}{12}\cdot\dfrac14 = \dfrac{43}{144}.$

The total is $\dfrac{6 + 17 + 43}{144} = \dfrac{66}{144} = \dfrac{11}{24}.$

Thus, the correct answer is D.

16.

Un hexágono regular con lados de longitud $6$ tiene un triángulo isósceles unido a cada lado. Cada uno de estos triángulos tiene dos lados de longitud $8.$ Los triángulos isósceles se pliegan para formar una pirámide con el hexágono como base de la pirámide. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?

A regular hexagon with sides of length $6$ has an isosceles triangle attached to each side. Each of these triangles has two sides of length $8.$ The isosceles triangles are folded to make a pyramid with the hexagon as the base of the pyramid. What is the volume of the pyramid?

$18$

$162$

$36\sqrt{21}$

$18\sqrt{138}$

$54\sqrt{21}$

Conceptos:pirámide volumen Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

En un hexágono regular de lado $6,$ la distancia del centro a un vértice también es $6$

In a regular hexagon of side $6,$ the distance from the center to a vertex is also $6$

Pista grande:

El ápice está sobre el centro a una altura $\sqrt{8^2 - 6^2};$ usa $V = \dfrac13 \cdot (\text{área de la base}) \cdot h$

The apex sits above the center at height $\sqrt{8^2 - 6^2};$ use $V = \dfrac13 \cdot (\text{base area}) \cdot h$

Solución:

La distancia del centro del hexágono a un vértice es $6.$ Una arista lateral tiene longitud $8,$ así que la altura de la pirámide es $\sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{28} = 2\sqrt7.$

El área del hexágono es $\dfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 6^2 = 54\sqrt3.$ Así el volumen es $\dfrac13 \cdot 54\sqrt3 \cdot 2\sqrt7 = 36\sqrt{21}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The distance from the hexagon’s center to a vertex is $6.$ A lateral edge has length $8,$ so the pyramid’s height is $\sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{28} = 2\sqrt7.$

The hexagon’s area is $\dfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 6^2 = 54\sqrt3.$ Thus the volume is $\dfrac13 \cdot 54\sqrt3 \cdot 2\sqrt7 = 36\sqrt{21}.$

Thus, the correct answer is C.

17.

Una moneda injusta cae en cara con probabilidad $\dfrac14.$ Al lanzarla $n$ veces, la probabilidad de exactamente dos caras es la misma que la probabilidad de exactamente tres caras. ¿Cuál es el valor de $n$ ?

An unfair coin lands on heads with a probability of $\dfrac14.$ When tossed $n$ times, the probability of exactly two heads is the same as the probability of exactly three heads. What is the value of $n?$

$5$

$8$

$10$

$11$

$13$

Conceptos:probabilidad binomial

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Iguala $\binom{n}{2}\left(\tfrac14\right)^2\left(\tfrac34\right)^{n-2}$ $= \binom{n}{3}\left(\tfrac14\right)^3\left(\tfrac34\right)^{n-3}$

Set $\binom{n}{2}\left(\tfrac14\right)^2\left(\tfrac34\right)^{n-2}$ $= \binom{n}{3}\left(\tfrac14\right)^3\left(\tfrac34\right)^{n-3}$

Pista grande:

Cancela los factores comunes para llegar a $\binom{n}{2}\cdot 3 = \binom{n}{3}$ .

Cancel common factors to reach $\binom{n}{2}\cdot 3 = \binom{n}{3}$

Solución:

Igualando las dos probabilidades y cancelando las potencias comunes de $\tfrac14$ y $\tfrac34$ da $\binom{n}{2}\cdot\dfrac34 = \binom{n}{3}\cdot\dfrac14.$

Esto se convierte en $\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 3$ $= \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6},$ así que $\dfrac32 = \dfrac{n-2}{6},$ dando $n - 2 = 9$ y $n = 11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Setting the two probabilities equal and cancelling the common powers of $\tfrac14$ and $\tfrac34$ gives $\binom{n}{2}\cdot\dfrac34 = \binom{n}{3}\cdot\dfrac14.$

This becomes $\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 3$ $= \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6},$ so $\dfrac32 = \dfrac{n-2}{6},$ giving $n - 2 = 9$ and $n = 11.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Para cada entero positivo compuesto $n,$ define $r(n)$ como la suma de los factores en la factorización en primos de $n.$ Por ejemplo, $r(50) = 12$ porque la factorización en primos de $50$ es $2 \cdot 5^2,$ y $2 + 5 + 5 = 12.$ ¿Cuál es el rango de la función $r,$ $\{r(n) : n \text{ es un entero positivo compuesto}\}$ ?

For every composite positive integer $n,$ define $r(n)$ to be the sum of the factors in the prime factorization of $n.$ For example, $r(50) = 12$ because the prime factorization of $50$ is $2 \cdot 5^2,$ and $2 + 5 + 5 = 12.$ What is the range of the function $r,$ $\{r(n) : n \text{ is a composite positive integer}\}?$

el conjunto de los enteros positivos

the set of positive integers

el conjunto de los enteros positivos compuestos

the set of composite positive integers

el conjunto de los enteros positivos pares

the set of even positive integers

el conjunto de los enteros mayores que $3$

the set of integers greater than $3$

el conjunto de los enteros mayores que $4$

the set of integers greater than $4$

Conceptos:factorización en primos función

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

El menor valor proviene del menor compuesto, $4 = 2 \cdot 2$ .

The smallest value comes from the smallest composite, $4 = 2 \cdot 2$

Pista grande:

Muestra que todo entero mayor que $3$ se alcanza, por ejemplo $r(2^k) = 2k$ y $r(2^k\cdot 3) = 2k + 3$

Show every integer greater than $3$ is attained, e.g. $r(2^k) = 2k$ and $r(2^k\cdot 3) = 2k + 3$

Solución:

Un número compuesto tiene al menos dos factores primos (con multiplicidad), y el menor primo es $2,$ así que el menor valor posible es $2 + 2 = 4.$

Todo entero mayor que $3$ se alcanza: $r(2^k) = 2k$ cubre los valores pares $\ge 4,$ y $r(2^k\cdot 3) = 2k + 3$ cubre los valores impares $\ge 5.$ Así el rango son los enteros mayores que $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A composite number has at least two prime factors (with multiplicity), and the smallest prime is $2,$ so the least possible value is $2 + 2 = 4.$

Every integer greater than $3$ is attained: $r(2^k) = 2k$ covers the even values $\ge 4,$ and $r(2^k\cdot 3) = 2k + 3$ covers the odd values $\ge 5.$ So the range is the integers greater than $3.$

Thus, the correct answer is D.

19.

En $\triangle ABC,$ $\angle C = 90^\circ$ y $AB = 12.$ Se construyen los cuadrados $ABXY$ y $ACWZ$ fuera del triángulo. Los puntos $X,$ $Y,$ $Z,$ y $W$ están en un círculo. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

In $\triangle ABC,$ $\angle C = 90^\circ$ and $AB = 12.$ Squares $ABXY$ and $ACWZ$ are constructed outside of the triangle. The points $X,$ $Y,$ $Z,$ and $W$ lie on a circle. What is the perimeter of the triangle?

$12 + 9\sqrt3$

$18 + 6\sqrt3$

$12 + 12\sqrt2$

$30$

$32$

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio triángulo rectángulo geometría analítica

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

El centro $O$ del círculo es equidistante de $X, Y, Z, W,$ así que es el circuncentro de $\triangle ABC$

The circle’s center $O$ is equidistant from $X, Y, Z, W,$ so it is the circumcenter of $\triangle ABC$

Pista grande:

Como $\angle C = 90^\circ,$ $O$ es el punto medio de $AB;$ pon $a = \tfrac12 BC,$ $b = \tfrac12 CA$ y usa $OX = OW$

Since $\angle C = 90^\circ,$ $O$ is the midpoint of $AB;$ set $a = \tfrac12 BC,$ $b = \tfrac12 CA$ and use $OX = OW$

Solución:

El centro $O$ del círculo está en las mediatrices de $XY$ y $ZW,$ que son las mismas que las de $AB$ y $AC.$ Así, $O$ es el circuncentro de $\triangle ABC,$ y como $\angle C = 90^\circ,$ $O$ es el punto medio de $AB.$

Sea $a = \tfrac12 BC$ y $b = \tfrac12 CA.$ Entonces $a^2 + b^2 = 6^2,$ y la igualdad $OX^2 = OW^2$ da $12^2 + 6^2 = b^2 + (a + 2b)^2.$ Como el lado izquierdo es $5(a^2+b^2),$ al restar se obtiene $4a(b-a)=0.$ Por tanto, $a=b,$ y $2a^2=36$ da $a=b=3\sqrt2.$ Así, $BC=CA=6\sqrt2,$ y el perímetro es $12+12\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The center $O$ of the circle lies on the perpendicular bisectors of $XY$ and $ZW,$ which are the same as those of $AB$ and $AC.$ So $O$ is the circumcenter of $\triangle ABC,$ and since $\angle C = 90^\circ,$ $O$ is the midpoint of $AB.$

Let $a = \tfrac12 BC$ and $b = \tfrac12 CA.$ Then $a^2 + b^2 = 6^2,$ and computing $OX^2 = OW^2$ gives $12^2 + 6^2 = b^2 + (a + 2b)^2.$ Because the left side is $5(a^2+b^2),$ subtracting gives $4a(b-a)=0.$ Thus $a=b,$ and $2a^2=36$ gives $a=b=3\sqrt2.$ Therefore $BC=CA=6\sqrt2,$ and the perimeter is $12+12\sqrt2.$

Thus, the correct answer is C.

20.

Para cada entero positivo $n,$ sea $\operatorname{mod}_5(n)$ el residuo obtenido al dividir $n$ entre $5.$ Define una función $f : \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ $\times \{0, 1, 2, 3, 4\}$ $\to \{0, 1, 2, 3, 4\}$ recursivamente como sigue:

$\tiny f(i, j) = \begin{cases} \operatorname{mod}_5(j + 1) & \text{si } i = 0 \text{ y } 0 \le j \le 4, \\ f(i - 1, 1) & \text{si } i \ge 1 \text{ y } j = 0, \text{ y} \\ f(i - 1, f(i, j - 1)) & \text{si } i \ge 1 \text{ y } 1 \le j \le 4. \end{cases}$

¿Cuánto es $f(2015, 2)$ ?

For every positive integer $n,$ let $\operatorname{mod}_5(n)$ be the remainder obtained when $n$ is divided by $5.$ Define a function $f : \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ $\times \{0, 1, 2, 3, 4\}$ $\to \{0, 1, 2, 3, 4\}$ recursively as follows:

$\tiny f(i, j) = \begin{cases} \operatorname{mod}_5(j + 1) & \text{if } i = 0 \text{ and } 0 \le j \le 4, \\ f(i - 1, 1) & \text{if } i \ge 1 \text{ and } j = 0, \text{ and} \\ f(i - 1, f(i, j - 1)) & \text{if } i \ge 1 \text{ and } 1 \le j \le 4. \end{cases}$

What is $f(2015, 2)?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones aritmética modular

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Construye la tabla de $f(i, j)$ fila por fila para $i$ pequeño

Build the table of $f(i, j)$ row by row for small $i$

Pista grande:

Sigue la columna $j = 2;$ se vuelve constante cuando $i$ es lo suficientemente grande

Track the column $j = 2;$ it becomes constant once $i$ is large enough

Solución:

Aplicar la recursión de izquierda a derecha en cada fila da $\begin{array}{c|ccccc} i\backslash j&0&1&2&3&4\\ \hline 0&1&2&3&4&0\\ 1&2&3&4&0&1\\ 2&3&0&2&4&1\\ 3&0&3&4&1&0\\ 4&3&1&3&1&3\\ 5&1&1&1&1&1 \end{array}$ Si una fila está formada enteramente por $1$ , la recursión hace que la fila siguiente también esté formada enteramente por $1$ . Por lo tanto, por inducción, $f(i,2)=1$ para todo $i\ge5.$

Como $2015 \ge 5,$ obtenemos $f(2015, 2) = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Applying the recursion from left to right in each row gives $\begin{array}{c|ccccc} i\backslash j&0&1&2&3&4\\ \hline 0&1&2&3&4&0\\ 1&2&3&4&0&1\\ 2&3&0&2&4&1\\ 3&0&3&4&1&0\\ 4&3&1&3&1&3\\ 5&1&1&1&1&1 \end{array}$ If a row consists entirely of $1$ s, the recursion makes the next row entirely $1$ s as well. Hence, by induction, $f(i,2)=1$ for every $i\ge5.$

Since $2015 \ge 5,$ we get $f(2015, 2) = 1.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Cozy el Gato y Dash el Perro suben una escalera con cierto número de escalones. Sin embargo, en lugar de subir los escalones de uno en uno, tanto Cozy como Dash saltan. Cozy sube dos escalones con cada salto (aunque si es necesario, solo saltará el último escalón). Dash sube cinco escalones con cada salto (aunque si es necesario, solo saltará los últimos escalones si quedan menos de $5$ ). Supón que Dash da $19$ saltos menos que Cozy para llegar a la cima de la escalera. Sea $s$ la suma de todos los números posibles de escalones que puede tener esta escalera. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $s$ ?

Cozy the Cat and Dash the Dog are going up a staircase with a certain number of steps. However, instead of walking up the steps one at a time, both Cozy and Dash jump. Cozy goes two steps up with each jump (though if necessary, he will just jump the last step). Dash goes five steps up with each jump (though if necessary, he will just jump the last steps if there are fewer than $5$ steps left). Suppose that Dash takes $19$ fewer jumps than Cozy to reach the top of the staircase. Let $s$ denote the sum of all possible numbers of steps this staircase can have. What is the sum of the digits of $s?$

$9$

$11$

$12$

$13$

$15$

Conceptos:funciones piso y techo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Para $t$ escalones, Cozy da $\left\lceil \tfrac{t}{2} \right\rceil$ saltos y Dash da $\left\lceil \tfrac{t}{5} \right\rceil$ saltos

For $t$ steps, Cozy makes $\left\lceil \tfrac{t}{2} \right\rceil$ jumps and Dash makes $\left\lceil \tfrac{t}{5} \right\rceil$ jumps

Pista grande:

Resuelve $\left\lceil \tfrac{t}{2} \right\rceil - \left\lceil \tfrac{t}{5} \right\rceil = 19$ y reúne todos los $t$ válidos.

Solve $\left\lceil \tfrac{t}{2} \right\rceil - \left\lceil \tfrac{t}{5} \right\rceil = 19$ and collect every valid $t$

Solución:

Una escalera de $t$ peldaños requiere $\left\lceil \tfrac{t}{2} \right\rceil$ saltos de Cozy y $\left\lceil \tfrac{t}{5} \right\rceil$ saltos de Dash, y necesitamos que la diferencia sea $19.$

Supongamos que Dash da $d+1$ saltos. Entonces $t$ es uno de $5d+1,$ $5d+2,$ $5d+3,$ $5d+4,$ $5d+5.$ Cozy da $d+20$ saltos, así que $t$ es $2d+39$ o $2d+40.$ Al igualar las dos listas, solo se obtiene un entero $d$ en los tres casos $\begin{gathered} 5d+3=2d+39,\\ 5d+1=2d+40,\\ 5d+4=2d+40. \end{gathered}$ Estos dan, respectivamente, $t=63,66,64.$ Por tanto, los valores válidos son $t=63,$ $64,$ y $66,$ de modo que $s = 63 + 64 + 66 = 193.$ Su suma de cifras es $1 + 9 + 3 = 13.$

Así, la respuesta correcta es D.

A staircase of $t$ steps takes Cozy $\left\lceil \tfrac{t}{2} \right\rceil$ jumps and Dash $\left\lceil \tfrac{t}{5} \right\rceil$ jumps, and we need the difference to equal $19.$

Suppose Dash makes $d+1$ jumps. Then $t$ is one of $5d+1,$ $5d+2,$ $5d+3,$ $5d+4,$ $5d+5.$ Cozy makes $d+20$ jumps, so $t$ is either $2d+39$ or $2d+40.$ Equating these two lists gives an integer $d$ only in the three cases $\begin{gathered} 5d+3=2d+39,\\ 5d+1=2d+40,\\ 5d+4=2d+40. \end{gathered}$ These yield respectively $t=63,66,64.$ Thus the valid values are $t=63,$ $64,$ and $66,$ so $s = 63 + 64 + 66 = 193.$ Its digit sum is $1 + 9 + 3 = 13.$

Thus, the correct answer is D.

22.

Seis sillas están espaciadas uniformemente alrededor de una mesa circular. Una persona está sentada en cada silla. Cada persona se levanta y se sienta en una silla que no es la misma silla y no es adyacente a la silla que ocupaba originalmente, de modo que de nuevo una persona queda sentada en cada silla. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Six chairs are evenly spaced around a circular table. One person is seated in each chair. Each person gets up and sits down in a chair that is not the same chair and is not adjacent to the chair he or she originally occupied, so that again one person is seated in each chair. In how many ways can this be done?

$14$

$16$

$18$

$20$

$24$

Conceptos:arreglos circulares análisis por casos

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Reetiqueta de modo que cada persona deba quedarse en su lugar o moverse a una silla adyacente

Relabel so that each person must stay put or move to an adjacent chair

Pista grande:

El número de personas que conservan su asiento (reetiquetado) debe ser par: $0,$ $2,$ $4,$ o $6$

The number of people who keep their (relabeled) seat must be even: $0,$ $2,$ $4,$ or $6$

Solución:

Primero imagina que todos se mueven a la silla directamente opuesta. La condición se convierte en: cada persona debe sentarse en la misma silla o en una adyacente. El número de personas que conservan su asiento debe ser par (de lo contrario un hueco de longitud impar no puede llenarse).

Si $0$ conservan su asiento, todos se desplazan a la izquierda, a la derecha, o intercambian con un vecino: $4$ formas. Si $2$ conservan sus asientos, esos dos deben ser opuestos o adyacentes, lo que da $3+6=9$ elecciones, y las demás personas quedan forzadas a intercambiarse en parejas adyacentes. Si $4$ conservan sus asientos, los otros dos deben ocupar asientos adyacentes e intercambiarse, lo que da $6$ elecciones. Si los $6$ se quedan, hay $1$ forma. El total es $4+9+6+1=20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

First imagine everyone moves to the chair directly opposite. The condition becomes: each person must sit in the same chair or an adjacent one. The number of people who keep their seat must be even (otherwise an odd-length gap cannot be filled).

If $0$ keep their seat, everyone shifts left, shifts right, or swaps with a neighbor: $4$ ways. If $2$ keep their seats, those two must be opposite or adjacent, giving $3+6=9$ choices, and the remaining people are forced to swap in adjacent pairs. If $4$ keep their seats, the other two must occupy adjacent seats and swap, giving $6$ choices. If all $6$ stay, there is $1$ way. The total is $4+9+6+1=20.$

Thus, the correct answer is D.

23.

Una caja rectangular mide $a \times b \times c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros y $1 \le a \le b \le c.$ El volumen y el área superficial de la caja son numéricamente iguales. ¿Cuántas ternas ordenadas $(a, b, c)$ son posibles?

A rectangular box measures $a \times b \times c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers and $1 \le a \le b \le c.$ The volume and the surface area of the box are numerically equal. How many ordered triples $(a, b, c)$ are possible?

$4$

$10$

$12$

$21$

$26$

Conceptos:Ecuación diofántica factorización análisis por casos

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

La condición es $abc = 2(ab + bc + ca)$ con $1 \le a \le b \le c$ .

The condition is $abc = 2(ab + bc + ca)$ with $1 \le a \le b \le c$

Pista grande:

Muestra que $a \le 6,$ luego para cada $a$ fijo factoriza la ecuación en un producto igual a una constante

Show $a \le 6,$ then for each fixed $a$ factor the equation into a product equal to a constant

Solución:

Que el volumen y el área superficial sean numéricamente iguales significa $abc=2(ab+bc+ca).$ Al dividir entre $abc$ obtenemos $1=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\le\frac{6}{a},$ así que $a\le6.$ Los casos $a=1$ y $a=2$ no tienen soluciones positivas. Para $a\ne2,$ sea $\begin{gathered} u=(a-2)b-2a,\\ v=(a-2)c-2a. \end{gathered}$ La ecuación se factoriza entonces como $uv=4a^2.$

Para $a=3,$ $(b-6)(c-6)=36$ da $(b,c)=(7,42),$ $(8,24),$ $(9,18),$ $(10,15),$ $(12,12).$ Para $a=4,$ $(b-4)(c-4)=16$ da $(5,20),(6,12),(8,8).$ Para $a=5,$ la congruencia de los dos factores módulo $3$ deja solo el par válido $(b,c)=(5,10),$ y para $a=6,$ $(b-3)(c-3)=9$ deja solo $(b,c)=(6,6).$ Por tanto, hay $5+3+1+1=10$ ternas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Numerically equal volume and surface area means $abc=2(ab+bc+ca).$ Dividing by $abc$ gives $1=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\le\frac{6}{a},$ so $a\le6.$ The cases $a=1$ and $a=2$ give no positive solutions. For $a\ne2,$ set $\begin{gathered} u=(a-2)b-2a,\\ v=(a-2)c-2a. \end{gathered}$ The equation then factors as $uv=4a^2.$

For $a=3,$ $(b-6)(c-6)=36$ gives $(b,c)=(7,42),$ $(8,24),$ $(9,18),$ $(10,15),$ $(12,12).$ For $a=4,$ $(b-4)(c-4)=16$ gives $(5,20),(6,12),(8,8).$ For $a=5,$ the congruence of the two factors modulo $3$ leaves only the valid pair $(b,c)=(5,10),$ and for $a=6,$ $(b-3)(c-3)=9$ leaves only $(b,c)=(6,6).$ Thus there are $5+3+1+1=10$ triples.

Thus, the correct answer is B.

24.

Cuatro círculos, de los cuales no hay dos congruentes, tienen centros en $A,$ $B,$ $C,$ y $D,$ y los puntos $P$ y $Q$ están en los cuatro círculos. El radio del círculo $A$ es $\dfrac58$ veces el radio del círculo $B,$ y el radio del círculo $C$ es $\dfrac58$ veces el radio del círculo $D.$ Además, $AB = CD = 39$ y $PQ = 48.$ Sea $R$ el punto medio de $\overline{PQ}.$ ¿Cuánto es $AR + BR + CR + DR$ ?

Four circles, no two of which are congruent, have centers at $A,$ $B,$ $C,$ and $D,$ and points $P$ and $Q$ lie on all four circles. The radius of circle $A$ is $\dfrac58$ times the radius of circle $B,$ and the radius of circle $C$ is $\dfrac58$ times the radius of circle $D.$ Furthermore, $AB = CD = 39$ and $PQ = 48.$ Let $R$ be the midpoint of $\overline{PQ}.$ What is $AR + BR + CR + DR?$

$180$

$184$

$188$

$192$

$196$

Conceptos:eje radical mediatriz Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Todos los $A, B, C, D, R$ están en la mediatriz de $PQ,$ y $PR = 24$ .

All of $A, B, C, D, R$ lie on the perpendicular bisector of $PQ,$ and $PR = 24$

Pista grande:

Con $AR = y$ y razón de radios $5{:}8,$ usa $y^2 + 24^2 = 25x^2$ y $(39 - y)^2 + 24^2 = 64x^2$

With $AR = y$ and radius ratio $5{:}8,$ use $y^2 + 24^2 = 25x^2$ and $(39 - y)^2 + 24^2 = 64x^2$

Solución:

Como cada centro equidista de $P$ y $Q,$ los cuatro centros y $R$ están en la mediatriz de $PQ,$ con $PR=24.$ Consideremos primero dos centros cuyos radios están en razón $5{:}8$ y cuya distancia es $39.$ Si $R$ está entre ellos, sea $y = AR$ y sea $x = \tfrac15$ del radio del círculo $A$ . Entonces $y^2 + 24^2 = 25x^2$ y $(39 - y)^2 + 24^2 = 64x^2.$ Al restar, $x^2 = 39 - 2y,$ de modo que $y^2 + 50y - 399 = 0$ y $y=7.$ Aquí $x=5,$ así que las distancias de los centros a $R$ son $7$ y $32,$ y los radios son $25$ y $40.$

Si los dos centros están del mismo lado de $R,$ sus distancias son $w$ y $w+39.$ Las ecuaciones análogas dan $w^2-50w-399=0,$ de donde $w=57,$ y las distancias son $57$ y $96.$ En este caso los radios son $5\sqrt{153}$ y $8\sqrt{153}.$ Usar la misma colocación para ambos pares $(A,B)$ y $(C,D)$ produciría dos círculos congruentes de cada radio, en contra de la hipótesis. Por tanto, cada par usa una colocación distinta. Sus sumas de distancias son $7+32=39$ y $57+96=153,$ así que el total pedido es $39+153=192.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since every center is equidistant from $P$ and $Q,$ all four centers and $R$ lie on the perpendicular bisector of $PQ,$ with $PR=24.$ First consider two centers whose radii are in the ratio $5{:}8$ and whose distance apart is $39.$ If $R$ lies between them, let $y = AR$ and $x = \tfrac15$ of circle $A$ ’s radius. Then $y^2 + 24^2 = 25x^2$ and $(39 - y)^2 + 24^2 = 64x^2.$ Subtracting gives $x^2 = 39 - 2y,$ so $y^2 + 50y - 399 = 0$ and $y=7.$ Here $x=5,$ so the two center distances from $R$ are $7$ and $32,$ and the radii are $25$ and $40.$

If instead the two centers lie on the same side of $R,$ their distances are $w$ and $w+39.$ The analogous equations give $w^2-50w-399=0,$ hence $w=57,$ and the distances are $57$ and $96.$ In this case the radii are $5\sqrt{153}$ and $8\sqrt{153}.$ Using the same placement for both pairs $(A,B)$ and $(C,D)$ would give two congruent circles of each radius, contrary to the hypothesis. Thus one pair uses each placement. Their distance sums are $7+32=39$ and $57+96=153,$ so the requested total is $39+153=192.$

Thus, the correct answer is D.

25.

Una abeja empieza a volar desde el punto $P_0.$ Vuela $1$ pulgada hacia el este hasta el punto $P_1.$ Para $j \ge 1,$ una vez que la abeja llega al punto $P_j,$ gira $30^\circ$ en sentido antihorario y luego vuela $j + 1$ pulgadas en línea recta hasta el punto $P_{j+1}.$ Cuando la abeja llega a $P_{2015}$ está exactamente a $a\sqrt b + c\sqrt d$ pulgadas de $P_0,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos y $b$ y $d$ no son divisibles por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto es $a + b + c + d$ ?

A bee starts flying from point $P_0.$ She flies $1$ inch due east to point $P_1.$ For $j \ge 1,$ once the bee reaches point $P_j,$ she turns $30^\circ$ counterclockwise and then flies $j + 1$ inches straight to point $P_{j+1}.$ When the bee reaches $P_{2015}$ she is exactly $a\sqrt b + c\sqrt d$ inches away from $P_0,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers and $b$ and $d$ are not divisible by the square of any prime. What is $a + b + c + d?$

$2016$

$2024$

$2032$

$2040$

$2048$

Conceptos:número complejo raíces de la unidad sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 2780

Pista pequeña:

Modela la trayectoria con números complejos: $P_0 = 0,$ $z = e^{\frac{\pi i}{6}},$ y $P_n = \sum_{k=1}^{n} k z^{k-1}$ .

Model the path with complex numbers: $P_0 = 0,$ $z = e^{\frac{\pi i}{6}},$ and $P_n = \sum_{k=1}^{n} k z^{k-1}$

Pista grande:

Suma la serie, luego usa $z^{12} = 1$ y $|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3$ .

Sum the series, then use $z^{12} = 1$ and $|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3$

Solución:

Coloca $P_0 = 0$ y sea $z = e^{\frac{\pi i}{6}},$ de modo que cada paso de longitud $k$ en dirección $z^{k-1}$ da $P_{2015} = \sum_{k=1}^{2015} k z^{k-1}.$ Sumar esto (una serie geométrica derivada) lleva a $\begin{aligned} &P_{2015} = \dfrac{1}{(z - 1)^2} \\ &\quad {}\cdot \bigl(2015 z^{2016} - 2016 z^{2015} + 1\bigr). \end{aligned}$

Como $z^{12} = 1,$ tenemos $z^{2016} = 1$ y $z^{2015} = \tfrac1z,$ así que $P_{2015} = \dfrac{2016}{z(z - 1)}.$ Usando $|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3 = \dfrac{(\sqrt3 - 1)^2}{2}$ y $|z| = 1,$ la distancia es $\dfrac{2016}{|z - 1|} = 1008\sqrt6 + 1008\sqrt2.$

Por lo tanto $a + b + c + d = 1008 + 6 + 1008$ $+ 2 = 2024.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place $P_0 = 0$ and let $z = e^{\frac{\pi i}{6}},$ so each step of length $k$ in direction $z^{k-1}$ gives $P_{2015} = \sum_{k=1}^{2015} k z^{k-1}.$ Summing this (a differentiated geometric series) leads to $\begin{aligned} &P_{2015} = \dfrac{1}{(z - 1)^2} \\ &\quad {}\cdot \bigl(2015 z^{2016} - 2016 z^{2015} + 1\bigr). \end{aligned}$

Since $z^{12} = 1,$ we have $z^{2016} = 1$ and $z^{2015} = \tfrac1z,$ so $P_{2015} = \dfrac{2016}{z(z - 1)}.$ Using $|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3 = \dfrac{(\sqrt3 - 1)^2}{2}$ and $|z| = 1,$ the distance is $\dfrac{2016}{|z - 1|} = 1008\sqrt6 + 1008\sqrt2.$

Hence $a + b + c + d = 1008 + 6 + 1008$ $+ 2 = 2024.$

Thus, the correct answer is B.