Question

La recta $12x + 5y = 60$ forma un triángulo con los ejes coordenados. ¿Cuál es la suma de las longitudes de las alturas de este triángulo?

The line $12x + 5y = 60$ forms a triangle with the coordinate axes. What is the sum of the lengths of the altitudes of this triangle?

$20$

$\dfrac{360}{17}$

$\dfrac{107}{5}$

$\dfrac{43}{2}$

$\dfrac{281}{13}$

Solución:

La recta corta a los ejes en $(5, 0)$ y $(0, 12),$ así que el triángulo es rectángulo con catetos $5$ y $12$ e hipotenusa $13.$ Su área es $30.$

Dos alturas son los catetos $5$ y $12;$ la altura sobre la hipotenusa es $\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13}.$ La suma es $17 + \dfrac{60}{13} = \dfrac{281}{13}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The line meets the axes at $(5, 0)$ and $(0, 12),$ so the triangle is right with legs $5$ and $12$ and hypotenuse $13.$ Its area is $30.$

Two altitudes are the legs $5$ and $12;$ the altitude to the hypotenuse is $\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13}.$ The sum is $17 + \dfrac{60}{13} = \dfrac{281}{13}.$

Thus, the correct answer is E.

2015 AMC 12B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años