Question

Dos números reales no nulos, $a$ y $b,$ satisfacen $ab = a - b.$ Halla un valor posible de $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab.$

Two non-zero real numbers, $a$ and $b,$ satisfy $ab = a - b.$ Find a possible value of $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab.$

$-2$

$-\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$2$

Solución:

Al combinar sobre un denominador común, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.$

Al sustituir $ab$ por $a - b$ en el numerador, $\begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab. \end{gathered}$

Por lo tanto, la expresión es igual a $\dfrac{2ab}{ab} = 2$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Combining over a common denominator, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.$

Replacing $ab$ with $a - b$ in the numerator, $\begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab. \end{gathered}$

Therefore the expression equals $\dfrac{2ab}{ab} = 2.$

Thus, the correct answer is E.

2000 AMC 12 Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años