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2000 AMC 12 Problema 11

Intenta el Problema 11 del 2000 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2000 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

Dos números reales no nulos, aa y b,b, satisfacen ab=a−b.ab = a - b. Halla un valor posible de ab+ba−ab.\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab.

Two non-zero real numbers, aa and b,b, satisfy ab=a−b.ab = a - b. Find a possible value of ab+ba−ab.\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab.

−2-2

−12-\dfrac{1}{2}

13\dfrac{1}{3}

12\dfrac{1}{2}

22

Respuesta: E
Conceptos:manipulación algebraicasustitución
Nivel de dificultad: 1530
Pista pequeña:

Combina sobre un denominador común: ab+ba−ab=a2+b2−(ab)2ab\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab = \dfrac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.

Combine over a common denominator: ab+ba−ab=a2+b2−(ab)2ab\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab = \dfrac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}

Pista grande:

Sustituye abab por a−ba - b en el numerador y desarrolla.

Replace abab with a−ba - b in the numerator and expand

Solución:

Al combinar sobre un denominador común, ab+ba−ab=a2+b2−(ab)2ab. \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.

Al sustituir abab por a−ba - b en el numerador, a2+b2−(a−b)2=a2+b2−(a2−2ab+b2)=2ab. \begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab. \end{gathered}

Por lo tanto, la expresión es igual a 2abab=2.\dfrac{2ab}{ab} = 2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Combining over a common denominator, ab+ba−ab=a2+b2−(ab)2ab. \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.

Replacing abab with a−ba - b in the numerator, a2+b2−(a−b)2=a2+b2−(a2−2ab+b2)=2ab. \begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab. \end{gathered}

Therefore the expression equals 2abab=2.\dfrac{2ab}{ab} = 2.

Thus, the correct answer is E.

Problema 10#10
Examen completo
Problema 12#12

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