Question

¿Cuántos números de tres dígitos cumplen que el dígito del medio es el promedio del primer y del último dígito?

How many three-digit numbers satisfy the property that the middle digit is the average of the first and the last digits?

$41$

$42$

$43$

$44$

$45$

Solución:

El dígito del medio es entero solo cuando el primer y el último dígito son ambos impares o ambos pares. Cada uno de esos pares determina el dígito del medio de forma única.

Hay $5 \cdot 5 = 25$ opciones impar-impar para el primer y el último dígito. Para par-par, el primer dígito no puede ser $0,$ lo que da $4 \cdot 5 = 20$ opciones.

El total es $25 + 20 = 45.$

Así, la respuesta correcta es E.

The middle digit is an integer only when the first and last digits are both odd or both even. Each such pair determines the middle digit uniquely.

There are $5 \cdot 5 = 25$ odd-odd choices for the first and last digits. For even-even, the first digit cannot be $0,$ giving $4 \cdot 5 = 20$ choices.

The total is $25 + 20 = 45.$

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 12A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años