Question

En una hoja de papel, Isabella dibuja un círculo de radio $2,$ un círculo de radio $3,$ y todas las rectas posibles simultáneamente tangentes a ambos círculos. Isabella observa que ha dibujado exactamente $k \ge 0$ rectas. ¿Cuántos valores diferentes de $k$ son posibles?

On a sheet of paper, Isabella draws a circle of radius $2,$ a circle of radius $3,$ and all possible lines simultaneously tangent to both circles. Isabella notices that she has drawn exactly $k \ge 0$ lines. How many different values of $k$ are possible?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Solución:

El número de rectas tangentes comunes depende de la posición relativa de los dos círculos:

Si el círculo menor está dentro del mayor, hay $0$ tangentes. Si son tangentes internamente, hay $1.$ Si los círculos se cortan en dos puntos, hay $2.$ Si son tangentes externamente, hay $3.$ Si están separados, hay $4.$

Así $k$ puede ser cualquiera de $0, 1, 2, 3, 4,$ lo que da $5$ valores posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The number of common tangent lines depends on the relative position of the two circles:

If the smaller circle is inside the larger, there are $0$ tangents. If it is internally tangent, there is $1.$ If the circles intersect at two points, there are $2.$ If they are externally tangent, there are $3.$ If they are separated, there are $4.$

Thus $k$ can be any of $0, 1, 2, 3, 4,$ which gives $5$ possible values.

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años