Question

Los enteros $x$ y $y$ con $x \gt y \gt 0$ satisfacen $x+y+xy = 80.$ ¿Cuánto vale $x$ ?

Integers $x$ and $y$ with $x \gt y \gt 0$ satisfy $x+y+xy = 80.$ What is $x?$

$8$

$10$

$15$

$18$

$26$

Suma $1$ a ambos lados para que el lado izquierdo se factorice

Add $1$ to both sides so the left side factors

$(x+1)(y+1) = 81;$ usa $x \gt y \gt 0$ con $81 = 3^4$

$(x+1)(y+1) = 81;$ use $x \gt y \gt 0$ with $81 = 3^4$

Sumando $1$ a ambos lados y factorizando se obtiene $(x+1)(y+1) = 81 = 3^4.$

Como $x$ y $y$ son enteros positivos distintos con $x \gt y,$ la única posibilidad es $x+1 = 3^3 = 27$ y $y+1 = 3.$ Por lo tanto $x = 26.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Adding $1$ to both sides and factoring gives $(x+1)(y+1) = 81 = 3^4.$

Because $x$ and $y$ are distinct positive integers with $x \gt y,$ the only possibility is $x+1 = 3^3 = 27$ and $y+1 = 3.$ Therefore $x = 26.$

Thus, the correct answer is E.