¿Para cuántos valores reales de x es √120 - √x un entero?

2006 AMC 12A Problema 10 — Solución

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 10 del 2006 AMC 12A, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2006 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Nivel de dificultad: 1490

10.

¿Para cuántos valores reales de $x$ es $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ un entero?

For how many real values of $x$ is $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ an integer?

$3$

$6$

$9$

$10$

$11$

Sea $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}$ un entero. Entonces $k \ge 0$ y $k^2 = 120 - \sqrt{x} \le 120,$ así que $0 \le k \le 10.$

Cada uno de estos $k$ da $\sqrt{x} = 120 - k^2 \ge 0,$ y por ende un valor distinto $x = (120 - k^2)^2.$ Eso da $11$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}$ be an integer. Then $k \ge 0$ and $k^2 = 120 - \sqrt{x} \le 120,$ so $0 \le k \le 10.$

Each such $k$ gives $\sqrt{x} = 120 - k^2 \ge 0,$ hence a distinct value $x = (120 - k^2)^2.$ That is $11$ values.

Thus, the correct answer is E.