Question

Se seleccionan dos números distintos del conjunto $\{1,2,3,4,\ldots,36,37\}$ de modo que la suma de los $35$ números restantes sea el producto de estos dos números. ¿Cuál es la diferencia de estos dos números?

Two distinct numbers are selected from the set $\{1,2,3,4,\ldots,36,37\}$ so that the sum of the remaining $35$ numbers is the product of these two numbers. What is the difference of these two numbers?

$5$

$7$

$8$

$9$

$10$

Solución:

La suma $1+2+\cdots+37=703.$ Si los números elegidos son $a$ y $b,$ entonces $703-a-b=ab.$

Así que $ab+a+b=703,$ y sumando $1$ se obtiene $(a+1)(b+1)=704=2^6\cdot 11.$

Necesitamos factores $a+1,b+1$ entre $2$ y $38.$ El par $22\cdot 32=704$ funciona, dando $a=21,$ $b=31.$

Su diferencia es $31-21=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sum $1+2+\cdots+37=703.$ If the chosen numbers are $a$ and $b,$ then $703-a-b=ab.$

So $ab+a+b=703,$ and adding $1$ gives $(a+1)(b+1)=704=2^6\cdot 11.$

We need factors $a+1,b+1$ between $2$ and $38.$ The pair $22\cdot 32=704$ works, giving $a=21,$ $b=31.$

Their difference is $31-21=10.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12B Spring Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años