Question

Si $m,$ $n,$ $p$ y $q$ son números reales, $f(x)=mx+n$ y $g(x)=px+q,$ entonces la ecuación $f(g(x))=g(f(x))$ tiene una solución

If $m,$ $n,$ $p$ and $q$ are real numbers and $f(x)=mx+n$ and $g(x)=px+q,$ then the equation $f(g(x))=g(f(x))$ has a solution

para todos los valores de $m,$ $n,$ $p$ y $q$

for all choices of $m,$ $n,$ $p$ and $q$

si y solo si $m=p$ y $n=q$

if and only if $m=p$ and $n=q$

si y solo si $mq-np=0$

if and only if $mq-np=0$

si y solo si $n(1-p)-q(1-m)=0$

if and only if $n(1-p)-q(1-m)=0$

si y solo si $(1-n)(1-p)$ ${}-(1-q)(1-m)=0$

if and only if $(1-n)(1-p)$ ${}-(1-q)(1-m)=0$

Respuesta: D

Conceptos:función ecuación lineal manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Desarrolla ambas composiciones antes de intentar despejar $x$

Expand both compositions before trying to solve for $x$

Pista grande:

Los coeficientes de $x$ son automáticamente iguales; solo queda una condición sobre los términos constantes

The coefficients of $x$ are automatically equal, leaving a condition on the constant terms

Solución:

Tenemos $\begin{aligned} f(g(x))&=mpx+mq+n,\\ g(f(x))&=pmx+pn+q. \end{aligned}$ Los términos en $x$ se cancelan para todo $x,$ así que existe una solución exactamente cuando $mq+n=pn+q.$ Al reordenar se obtiene $n(1-p)-q(1-m)=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\begin{aligned} f(g(x))&=mpx+mq+n,\\ g(f(x))&=pmx+pn+q. \end{aligned}$ The $x$ -terms cancel for every $x,$ so a solution exists exactly when $mq+n=pn+q.$ Rearranging gives $n(1-p)-q(1-m)=0.$

Therefore, the correct answer is D.

1976 AMC 12 Problema 10

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años