Question

El segmento $AB$ es a la vez un diámetro de un círculo de radio $1$ y un lado de un triángulo equilátero $ABC.$ El círculo también corta $AC$ y $BC$ en los puntos $D$ y $E,$ respectivamente. La longitud de $AE$ es

Segment $AB$ is both a diameter of a circle of radius $1$ and a side of an equilateral triangle $ABC.$ The circle also intersects $AC$ and $BC$ at points $D$ and $E,$ respectively. The length of $AE$ is

$\frac32$

$\frac53$

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\sqrt3$

$\frac{2+\sqrt3}{2}$

Respuesta: D

Conceptos:círculo ángulo inscrito triángulo equilátero triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Como $AB$ es un diámetro, $\angle AEB$ es un ángulo recto

Because $AB$ is a diameter, $\angle AEB$ is a right angle

Pista grande:

El triángulo $ABE$ es un triángulo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ con hipotenusa $AB=2$

Triangle $ABE$ is a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle with hypotenuse $AB=2$

Solución:

Como $E$ está en el círculo de diámetro $AB,$ $\angle AEB=90^\circ.$ Además, $\angle ABE=60^\circ$ porque $ABC$ es equilátero. Por tanto, $ABE$ es un triángulo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ con hipotenusa $AB=2,$ así que $AE=\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $E$ is on the circle with diameter $AB,$ $\angle AEB=90^\circ.$ Also $\angle ABE=60^\circ$ because $ABC$ is equilateral. Thus $ABE$ is a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle with hypotenuse $AB=2,$ so $AE=\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

1983 AMC 12 Problema 10

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años