Question

线段 $AB$ 既是一个半径为 $1$ 的圆的直径，也是等边三角形 $ABC$ 的一条边。该圆还分别在点 $D$ 和 $E$ 处与 $AC$ 和 $BC$ 相交。 $AE$ 的长度为

Segment $AB$ is both a diameter of a circle of radius $1$ and a side of an equilateral triangle $ABC.$ The circle also intersects $AC$ and $BC$ at points $D$ and $E,$ respectively. The length of $AE$ is

$\frac32$

$\frac53$

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\sqrt3$

$\frac{2+\sqrt3}{2}$

答案：D

知识点：圆圆周角等边三角形特殊直角三角形

难度评级：1660

小提示：

由于 $AB$ 是直径，所以 $\angle AEB$ 是直角

Because $AB$ is a diameter, $\angle AEB$ is a right angle

大提示：

三角形 $ABE$ 是一个斜边 $AB=2$ 的 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形

Triangle $ABE$ is a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle with hypotenuse $AB=2$

解答：

由于 $E$ 位于以 $AB$ 为直径的圆上，所以 $\angle AEB=90^\circ$ 。又因为 $ABC$ 是等边三角形，所以 $\angle ABE=60^\circ$ 。因此 $ABE$ 是一个斜边 $AB=2$ 的 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形，所以 $AE=\sqrt3$ 。

所以正确答案是 D。

Since $E$ is on the circle with diameter $AB,$ $\angle AEB=90^\circ.$ Also $\angle ABE=60^\circ$ because $ABC$ is equilateral. Thus $ABE$ is a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle with hypotenuse $AB=2,$ so $AE=\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

1983 AMC 12 第 10 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题