Question

圆环是两个同心圆之间的区域。图中的同心圆半径分别为 $b$ 和 $c$ ，其中 $b \gt c$ 。令 $\overline{OX}$ 为大圆的一条半径， $\overline{XZ}$ 在 $Z$ 处与小圆相切， $\overline{OY}$ 是经过 $Z$ 的大圆半径。令 $a = XZ$ 、 $d = YZ$ 、 $e = XY$ 。这个圆环的面积是多少？

An annulus is the region between two concentric circles. The concentric circles in the figure have radii $b$ and $c,$ with $b \gt c.$ Let $\overline{OX}$ be a radius of the larger circle, let $\overline{XZ}$ be tangent to the smaller circle at $Z,$ and let $\overline{OY}$ be the radius of the larger circle that contains $Z.$ Let $a = XZ,$ $d = YZ,$ and $e = XY.$ What is the area of the annulus?

$\pi a^2$

$\pi b^2$

$\pi c^2$

$\pi d^2$

$\pi e^2$

答案：A

知识点：圆环切线勾股定理

难度评级：1460

小提示：

圆环面积为 $\pi b^2 - \pi c^2$ 。

The annulus area is $\pi b^2 - \pi c^2$

大提示：

因为 $\overline{XZ}$ 是切线， $\triangle OZX$ 在 $Z$ 处为直角，所以 $b^2 - c^2 = a^2$ 。

Since $\overline{XZ}$ is tangent, $\triangle OZX$ is right-angled at $Z,$ so $b^2 - c^2 = a^2$

解答：

圆环面积为 $\pi b^2 - \pi c^2$ 。因为 $\overline{XZ}$ 在 $Z$ 处与小圆相切，所以它垂直于半径 $\overline{OZ}$ ，于是 $\triangle OZX$ 在 $Z$ 处为直角。由此 $b^2 = c^2 + a^2$ ，所以 $b^2 - c^2 = a^2$ ，面积为 $\pi a^2$ 。

因此正确答案是 A。

The annulus area is $\pi b^2 - \pi c^2.$ Because $\overline{XZ}$ is tangent to the smaller circle at $Z,$ it is perpendicular to radius $\overline{OZ},$ so $\triangle OZX$ is right-angled at $Z.$ Then $b^2 = c^2 + a^2,$ giving $b^2 - c^2 = a^2.$ The area is $\pi a^2.$

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 12B 第 10 题

答案：A

难度评级：1460

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题