Question

有多少个实数有序对 $(x, y)$ 满足下面的方程组？

$x + 3y = 3$ $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$

How many ordered pairs of real numbers $(x, y)$ satisfy the following system of equations?

$x + 3y = 3$ $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$

$1$

$2$

$3$

$4$

$8$

答案：C

知识点：绝对值方程组分类讨论

难度评级：1560

小提示：

方程 $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$ 表示 $|x| - |y| = \pm 1$ ，可展开为 $x = \pm y \pm 1$ 。

The equation $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$ means $|x| - |y| = \pm 1,$ which unfolds into $x = \pm y \pm 1$

大提示：

分别将 $x + 3y = 3$ 与 $x = y + 1$ ， $x = y - 1$ ， $x = -y + 1$ ， $x = -y - 1$ ，联立求解，再去掉重复解

Solve $x + 3y = 3$ together with each of $x = y + 1,$ $x = y - 1,$ $x = -y + 1,$ $x = -y - 1,$ then discard repeats

解答：

第二个方程给出 $|x| - |y| = \pm 1$ ，等价于 $x = \pm y \pm 1$ 。代入 $x + 3y = 3$ ：

若 $x = y + 1$ 则 $(x, y) = \left(\tfrac32, \tfrac12\right)$ 。若 $x = y - 1$ 则 $(x, y) = (0, 1)$ 。若 $x = -y + 1$ ，又得到 $(x, y) = (0, 1)$ 。若 $x = -y - 1$ 则 $(x, y) = (-3, 2)$ 。

不同的解是 $(-3, 2)$ ， $(0, 1)$ ，和 $\left(\tfrac32, \tfrac12\right)$ ，它们都满足原方程，所以共有 $3$ 个。

所以正确答案是 C。

The second equation gives $|x| - |y| = \pm 1,$ equivalently $x = \pm y \pm 1.$ Substituting into $x + 3y = 3:$

If $x = y + 1,$ then $(x, y) = \left(\tfrac32, \tfrac12\right).$ If $x = y - 1,$ then $(x, y) = (0, 1).$ If $x = -y + 1,$ then again $(x, y) = (0, 1).$ If $x = -y - 1,$ then $(x, y) = (-3, 2).$

The distinct solutions are $(-3, 2),$ $(0, 1),$ and $\left(\tfrac32, \tfrac12\right),$ all of which check, so there are $3.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12A 第 10 题

答案：C

难度评级：1560

小提示：

大提示：

解答：

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