Question

一个三角形的边长都是整数，其中一条边是第二条边的三倍，第三条边长为 $15$ 。这个三角形的最大可能周长是多少？

In a triangle with integer side lengths, one side is three times as long as a second side, and the length of the third side is $15.$ What is the greatest possible perimeter of the triangle?

$43$

$44$

$45$

$46$

$47$

答案：A

知识点：三角不等式最优化

难度评级：1450

小提示：

设三边为 $x$ 、 $3x$ 和 $15$ ，再使用三角形不等式。

Let the sides be $x,$ $3x,$ and $15,$ then apply the triangle inequality

大提示：

起限制作用的条件是 $x + 15 \gt 3x$ ，它给出了 $x$ 的上界。

The binding condition is $x + 15 \gt 3x,$ which caps how large $x$ can be

解答：

设三边为 $x$ 、 $3x$ 和 $15$ 。三角形不等式要求 $x + 3x \gt 15$ ，所以 $x \geq 4$ ；且 $x + 15 \gt 3x$ ，所以 $x \leq 7$ 。

周长 $4x + 15$ 在 $x = 7$ 时最大，得到 $7 + 21 + 15 = 43$ 。

因此，正确答案是 A。

Let the sides be $x,$ $3x,$ and $15.$ The triangle inequality requires $x + 3x \gt 15,$ so $x \geq 4,$ and $x + 15 \gt 3x,$ so $x \leq 7.$

The perimeter $4x + 15$ is largest when $x = 7,$ giving $7 + 21 + 15 = 43.$

Thus, the correct answer is A.

2006 AMC 12B 第 10 题

答案：A

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题