Question

正六边形 $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$ 的边心距（从中心到一条边中点的距离）为 $2$ 。对于 $i=1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ ，点 $Q_i$ 是边 $P_iP_{i+1}$ 的中点。四边形 $Q_1Q_2Q_3Q_4$ 的面积是

If $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$ is a regular hexagon whose apothem (distance from the center to the midpoint of a side) is $2,$ and $Q_i$ is the midpoint of side $P_iP_{i+1}$ for $i=1,$ $2,$ $3,$ $4,$ then the area of quadrilateral $Q_1Q_2Q_3Q_4$ is

$6$

$2\sqrt6$

$\frac{8\sqrt3}{3}$

$3\sqrt3$

$4\sqrt3$

答案：D

知识点：正多边形等边三角形面积分割

难度评级：1780

小提示：

各点 $Q_i$ 位于一个半径等于该边心距的圆上

The points $Q_i$ lie on a circle of radius equal to the apothem

大提示：

把中心与连续四条边的中点相连，再分割这个四边形

Join the center to the four consecutive side midpoints and decompose the quadrilateral

解答：

设 $O$ 为中心。相邻的边心距 $OQ_i$ 与 $OQ_{i+1}$ 长度均为 $2$ ，夹角为 $60^\circ$ ，所以每个 $\triangle OQ_iQ_{i+1}$ 都是边长为 $2$ 的等边三角形。该四边形由三个这样的三角形组成，因此面积为 $3\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=3\sqrt3\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Let $O$ be the center. Consecutive apothems $OQ_i$ and $OQ_{i+1}$ have length $2$ and form a $60^\circ$ angle, so each $\triangle OQ_iQ_{i+1}$ is equilateral of side $2.$ The quadrilateral is the union of three such triangles, and hence has area $3\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=3\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

1979 AMC 12 第 10 题

答案：D

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题