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2024 AMC 12B 第 10 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

10.

一个含 99 个实数的列表包括 11、2.22.2、3.23.2、5.25.2、6.26.2、77，以及满足 x≤y≤zx \le y \le z 的 xx，yy，zz。列表的极差为 77，且平均数和中位数都是正整数。有多少个有序三元组 (x,y,z)(x, y, z) 可行？

A list of 99 real numbers consists of 1,1, 2.2,2.2, 3.2,3.2, 5.2,5.2, 6.2,6.2, and 7,7, as well as x,x, y,y, zz with x≤y≤z.x \le y \le z. The range of the list is 7,7, and the mean and median are both positive integers. How many ordered triples (x,y,z)(x, y, z) are possible?

11

22

33

44

无限多个

infinitely many

答案：C
知识点：平均数中位数（数据）极差分类讨论
难度评级：1600
小提示：

六个固定数之和为 24.824.8，所以平均数为整数时，x+y+zx + y + z 的小数部分必须为 0.20.2。

The six fixed numbers sum to 24.8,24.8, so the mean is an integer only when x+y+zx + y + z ends in 0.20.2

大提示：

极差条件给出三种情形：(min⁡,max⁡)=(0,7), (1,8)(\min,\max)=(0,7),\ (1,8)，或 (t,t+7)(t,t+7)，其中 0<t<10\lt t\lt1

The range condition gives three cases: (min⁡,max⁡)=(0,7), (1,8),(\min,\max)=(0,7),\ (1,8), or (t,t+7)(t,t+7) with 0<t<10\lt t\lt1

解答：

六个固定数之和为 24.824.8，取值范围为 [1,7][1,7]。整个列表的最小值与最大值有三种可能的安排。

若最小值与最大值为 00 和 77，则 x=0x=0 且 z≤7z\le7。此时平均数为整数只能取 33 或 44，分别要求 y+z=2.2y+z=2.2 或 11.211.2。前者使中位数变成 2.22.2。后者若要中位数为整数，必须 y=5y=5，从而 z=6.2z=6.2。这给出 (0,5,6.2)(0,5,6.2)。

若最小值与最大值为 11 和 88，则 z=8z=8，而平均数为整数要求 x+y=3.2x+y=3.2 或 12.212.2。前者使中位数变成 3.23.2；后者只有在 x=6, y=6.2x=6,\ y=6.2 时中位数才是整数。这给出 (6,6.2,8)(6,6.2,8)。

最后，若两个极值都由新数给出，写成 x=t, z=t+7x=t,\ z=t+7，其中 0<t<10\lt t\lt1。平均数必须为 44，所以 y=4.2−2ty=4.2-2t。中位数是 1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y 中的第四个数；只有当 y=4y=4 时它才是整数，此时 t=0.1t=0.1。于是第三个三元组是 (0.1,4,7.1)(0.1,4,7.1)，总共恰有 33 个。

所以正确答案是 C。

The six fixed numbers sum to 24.824.8 and span [1,7].[1,7]. There are three possible arrangements of the overall extremes.

If the extremes are 00 and 7,7, then x=0x=0 and z≤7.z\le7. The only possible integer means are 33 and 4,4, requiring y+z=2.2y+z=2.2 or 11.2.11.2. The first makes the median 2.2.2.2. In the second, an integer median forces y=5,y=5, hence z=6.2.z=6.2. This gives (0,5,6.2).(0,5,6.2).

If the extremes are 11 and 8,8, then z=8z=8 and the integer mean forces x+y=3.2x+y=3.2 or 12.2.12.2. The first makes the median 3.2;3.2; the second has an integer median only for x=6, y=6.2.x=6,\ y=6.2. This gives (6,6.2,8).(6,6.2,8).

Finally, if both extremes are new, write x=t, z=t+7x=t,\ z=t+7 with 0<t<1.0\lt t\lt1. The mean must be 4,4, so y=4.2−2t.y=4.2-2t. The median is the fourth number among 1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y;1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y; it is an integer only when y=4,y=4, giving t=0.1.t=0.1. Thus the third triple is (0.1,4,7.1),(0.1,4,7.1), and there are exactly 33 in all.

Thus, the correct answer is C.

第 9 题#9
完整试卷
第 11 题#11

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