1974 AMC 12 第 10 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1974 AMC 12 第 10 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

10.

使方程 $2x(kx-4)-x^2+6=0$ 没有实根的最小整数 $k$ 是多少？

What is the smallest integral value of $k$ such that $2x(kx-4)-x^2+6=0$ has no real roots?

$-1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：B

知识点：二次方程不等式

难度评级：1650

小提示：

先将方程改写为标准二次方程形式

First rewrite the equation in standard quadratic form

大提示：

没有实根意味着判别式为负

No real roots means the discriminant is negative

解答：

方程可写成 $(2k-1)x^2-8x+6=0$ 。其判别式为 $64-24(2k-1)=88-48k\text{。}$ 当且仅当 $k\gt\frac{11}{6}$ 时，判别式为负，所以满足条件的最小整数是 $2$ 。

因此，正确答案是 B。

The equation is $(2k-1)x^2-8x+6=0.$ Its discriminant is $64-24(2k-1)=88-48k.$ This is negative exactly when $k\gt\frac{11}{6},$ so the least integer possible is $2.$

Therefore, the correct answer is B.

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