Question

在正方形内部取一点 $P$ ，该正方形的边长为 $a$ ，所取点到两个相邻顶点的距离以及到这两个顶点对边的距离都相等。若 $d$ 表示这个公共距离，则 $d$ 等于：

Point $P$ is taken interior to a square with side-length $a$ and such that it is equally distant from two consecutive vertices and from the side opposite these vertices. If $d$ represents the common distance, then $d$ equals:

$\dfrac{3a}{5}$

$\dfrac{5a}{8}$

$\dfrac{3a}{8}$

$\dfrac{a\sqrt2}{2}$

$\dfrac a2$

答案：B

知识点：正方形（几何）垂直平分线距离公式

难度评级：1730

小提示：

到两个相邻顶点距离相等，所以 $P$ 在它们连线的垂直平分线上

The equal distances to two consecutive vertices put $P$ on their perpendicular bisector

大提示：

若到对边的距离为 $d$ ，利用两条直角边分别为 $\frac{a}{2}$ 和 $a-d$ 的直角三角形

If the distance to the opposite side is $d,$ use a right triangle with legs $\frac{a}{2}$ and $a-d$

解答：

令对边的高度为 $0$ ，两个顶点的高度为 $a$ 。则 $P=(\frac{a}{2},d)$ 。顶点距离与 $d$ 相等，故 $\left(\frac a2\right)^2+(a-d)^2=d^2\text{，}$ 所以 $\frac{5a^2}{4}=2ad$ ，从而 $d=\frac{5a}{8}$ 。

所以正确答案是 B。

Place the opposite side at height $0$ and the two vertices at height $a.$ Then $P=(\frac{a}{2},d).$ Equality of the vertex distance and $d$ gives $\left(\frac a2\right)^2+(a-d)^2=d^2,$ so $\frac{5a^2}{4}=2ad$ and $d=\frac{5a}{8}.$

Thus, the correct answer is B.

1963 AMC 12 第 10 题

答案：B

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题