Question

一个边长比为 $3:4:5$ 的三角形内接于半径为 $3$ 的圆。这个三角形的面积是多少？

A triangle with side lengths in the ratio $3:4:5$ is inscribed in a circle of radius $3.$ What is the area of the triangle?

$8.64$

$12$

$5\pi$

$17.28$

$18$

$3\!:\!4\!:\!5$ 三角形是直角三角形，所以它的斜边是圆的直径。

A $3\!:\!4\!:\!5$ triangle is right-angled, so its hypotenuse is a diameter of the circle

斜边 $5x$ 等于直径 $6$ ，然后面积为 $\tfrac12(3x)(4x)$ 。

The hypotenuse $5x$ equals the diameter $6,$ then the area is $\tfrac12(3x)(4x)$

设三边为 $3x$ 、 $4x$ 和 $5x$ 。该三角形是直角三角形，所以斜边是直径。

因此 $5x=2\cdot 3=6$ ，得 $x=\tfrac65$ 。

面积为 $\tfrac12\cdot 3x\cdot 4x=6x^2$ $=6\cdot\tfrac{36}{25}$ $=\tfrac{216}{25}=8.64$ 。

因此，正确答案是 A。

Let the sides be $3x,$ $4x,$ and $5x.$ The triangle is right, so its hypotenuse is a diameter.

Thus $5x=2\cdot 3=6,$ giving $x=\tfrac65.$

The area is $\tfrac12\cdot 3x\cdot 4x=6x^2$ $=6\cdot\tfrac{36}{25}$ $=\tfrac{216}{25}=8.64.$

Thus, the correct answer is A.