Question

考虑递归定义的数列： $u_1=a$ （其中初值为任意正数），且 $u_{n+1}=-\frac{1}{u_n+1}$ ，其中 $n=1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\ldots$ 。下列哪个 $n$ 值必使 $u_n=a$ ？

Consider the sequence defined recursively by $u_1=a$ (any positive number), and $u_{n+1}=-\frac{1}{u_n+1},$ $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ For which of the following values of $n$ must $u_n=a?$

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

答案：C

知识点：递推找规律分式方程

难度评级：1770

小提示：

用符号计算 $u_2,u_3$ 和 $u_4$

Compute $u_2,u_3,$ and $u_4$ symbolically

大提示：

寻找变换 $x\mapsto-\frac{1}{x+1}$ 的周期

Look for the period of the transformation $x\mapsto-\frac{1}{x+1}$

解答：

直接代入得 $\begin{aligned} u_2&=-\frac1{a+1},\\ u_3&=-\frac{a+1}{a},\\ u_4&=a \end{aligned}\text{。}$ 因此数列每 $3$ 项重复一次，而且 $u_n=a$ 恰在 $n\equiv1\pmod3$ 时成立。选项中只有 $16$ 符合。

所以正确答案是 C。

Direct substitution gives $\begin{aligned} u_2&=-\frac1{a+1},\\ u_3&=-\frac{a+1}{a},\\ u_4&=a. \end{aligned}$ The sequence therefore repeats every $3$ terms, so $u_n=a$ whenever $n\equiv1\pmod3.$ Among the choices, only $16$ has that form.

Thus the correct answer is C.

1989 AMC 12 第 10 题

答案：C

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题