Question

长方形 $ABCD$ 中， $AB=6$ ， $BC=3$ 。点 $M$ 在边 $AB$ 上，且 $\angle AMD=\angle CMD$ 。 $\angle AMD$ 的度数是多少？

Rectangle $ABCD$ has $AB=6$ and $BC=3.$ Point $M$ is chosen on side $AB$ so that $\angle AMD=\angle CMD.$ What is the degree measure of $\angle AMD?$

$15$

$30$

$45$

$60$

$75$

答案：E

知识点：平行线等腰三角形特殊直角三角形

难度评级：1450

小提示：

因为 $AB\parallel CD$ ，所以角 $\angle CDM$ 等于 $\angle AMD$ 。

Since $AB\parallel CD,$ the angle $\angle CDM$ equals $\angle AMD$

大提示：

这使 $\triangle CMD$ 成为等腰三角形，且 $CM=CD=6$ ，于是 $\triangle MBC$ 是 $30$ - $60$ - $90$ 三角形。

That makes $\triangle CMD$ isosceles with $CM=CD=6,$ so $\triangle MBC$ is $30$ - $60$ - $90$

解答：

因为 $AB\parallel CD$ ，所以 $\angle CDM=\angle AMD$ 。结合 $\angle AMD=\angle CMD$ ，可得 $\angle CDM=\angle CMD$ ，所以 $\triangle CMD$ 是等腰三角形，且 $CM=CD=6$ 。

因此 $\triangle MBC$ 在 $B$ 处为直角，斜边 $CM=6$ ，直角边 $BC=3$ ，所以它是 $30$ - $60$ - $90^\circ$ 三角形，且 $\angle BMC=30^\circ$ 。

最后 $\angle AMD+\angle CMD$ $+\angle BMC=180^\circ$ ，所以 $2\angle AMD+30^\circ=180^\circ$ ，得 $\angle AMD=75^\circ$ 。

所以正确答案是 E。

Because $AB\parallel CD,$ we have $\angle CDM=\angle AMD.$ Combined with $\angle AMD=\angle CMD,$ this gives $\angle CDM=\angle CMD,$ so $\triangle CMD$ is isosceles with $CM=CD=6.$

Then $\triangle MBC$ is right-angled at $B$ with hypotenuse $CM=6$ and leg $BC=3,$ so it is a $30$ - $60$ - $90^\circ$ triangle with $\angle BMC=30^\circ.$

Finally, $\angle AMD+\angle CMD$ $+\angle BMC=180^\circ,$ so $2\angle AMD+30^\circ=180^\circ,$ giving $\angle AMD=75^\circ.$

Thus, the correct answer is E.

2011 AMC 12B 第 10 题

答案：E

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题