Question

以曲线 $x^2 + y^2 = 25$ 与 $(x - 4)^2 + 9y^2 = 81$ 的交点为顶点所形成的多边形，面积是多少？

What is the area of the polygon whose vertices are the points of intersection of the curves $x^2 + y^2 = 25$ and $(x - 4)^2 + 9y^2 = 81?$

$24$

$27$

$36$

$37.5$

$42$

由第一个方程解出 $y^2$ ，再代入第二个方程

Solve the first equation for $y^2$ and substitute into the second

三个交点形成一个三角形；用一条竖直边作底

The three intersection points form a triangle; use one vertical side as the base

由 $x^2+y^2=25$ 得 $y^2=25-x^2$ 。代入 $(x-4)^2+9y^2=81$ 得 $x^2+x-20=0$ ，所以 $x=4$ 或 $x=-5$ 。

交点为 $(-5,0)$ ， $(4,3)$ ，和 $(4,-3)$ 。

从 $(4,3)$ 到 $(4,-3)$ 的竖直边长为 $6$ ，到 $(-5,0)$ 的水平距离为 $9$ ，所以面积是 $\tfrac12\cdot6\cdot9=27$ 。

因此正确答案是 B。

From $x^2+y^2=25$ we get $y^2=25-x^2.$ Substituting into $(x-4)^2+9y^2=81$ gives $x^2+x-20=0,$ so $x=4$ or $x=-5.$

The intersection points are $(-5,0),$ $(4,3),$ and $(4,-3).$

The vertical side from $(4,3)$ to $(4,-3)$ has length $6,$ and the horizontal distance to $(-5,0)$ is $9,$ so the area is $\tfrac12\cdot6\cdot9=27.$

Thus, the correct answer is B.