Question

由非零实数组成的有序三元组 $(a,b,c)$ 中，满足每个数都等于另外两个数之积的有多少个？

How many ordered triples $(a,b,c)$ of nonzero real numbers have the property that each number is the product of the other two?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：D

知识点：方程组 sign patterns product

难度评级：1670

小提示：

将条件写成 $a=bc,\ b=ca,\ c=ab$

Translate the condition into $a=bc,\ b=ca,\ c=ab$

大提示：

将三个方程相乘，并利用变量非零的条件确定其绝对值

Multiply the equations and use the nonzero condition to determine the possible magnitudes

解答：

将 $a=bc,\ b=ca,\ c=ab$ 相乘，得到 $abc=(abc)^2\text{。}$ 由于变量都不为零，所以 $abc=1$ 。此外， $abc=a^2=b^2=c^2$ ，所以每个变量都是 $1$ 或 $-1$ 。乘积为 $1$ 时，要么没有负号，要么恰有两个负号，因此共有 $1+3=4$ 个有序三元组。

所以正确答案是 D。

Multiplying $a=bc,\ b=ca,\ c=ab$ gives $abc=(abc)^2.$ Since none of the variables is zero, $abc=1.$ Also $abc=a^2=b^2=c^2,$ so each variable is $1$ or $-1.$ Product $1$ allows either no negative signs or exactly two, giving $1+3=4$ ordered triples.

Thus the correct answer is D.

1987 AMC 12 第 10 题

答案：D

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题