Question

Danica 开着新车旅行了整数个小时，平均速度为每小时 $55$ 英里。旅行开始时，里程表显示 $abc$ 英里，其中 $abc$ 是一个 $3$ 位数，满足 $a \ge 1$ 且 $a+b+c \le 7$ 。旅行结束时，里程表显示 $cba$ 英里。 $a^2 + b^2 + c^2$ 是多少？

Danica drove her new car on a trip for a whole number of hours, averaging $55$ miles per hour. At the beginning of the trip, $abc$ miles was displayed on the odometer, where $abc$ is a $3$ -digit number with $a \ge 1$ and $a+b+c \le 7.$ At the end of the trip, the odometer showed $cba$ miles. What is $a^2 + b^2 + c^2?$

$26$

$27$

$36$

$37$

$41$

答案：D

知识点：位值整除性最小公倍数

难度评级：1680

小提示：

行驶距离为 $cba - abc = 99(c-a)$ 。

The distance driven is $cba - abc = 99(c-a)$

大提示：

它也是 $55$ 的倍数，所以是 $\operatorname{lcm}(99,55)=495$ 的倍数。

It is also a multiple of $55,$ so it is a multiple of $\operatorname{lcm}(99,55)=495$

解答：

行驶距离为 $cba - abc = 99(c-a)$ ，是 $9$ 的倍数。以每小时 $55$ 英里行驶整数小时，也使它是 $55$ 的倍数，因此它是 $495$ 的倍数。

由于里程表差值至多是一个 $3$ 位数且 $a \ge 1$ ，距离只能是 $495$ ，所以 $c - a = 5$ 。

在 $a \ge 1$ 且 $a+b+c \le 7$ 下，唯一可能是 $a=1$ ， $c=6$ ， $b=0$ 。因此 $a^2+b^2+c^2 = 1 + 0 + 36 = 37$ 。

所以正确答案是 D。

The distance driven is $cba - abc = 99(c-a),$ a multiple of $9.$ Driving a whole number of hours at $55$ mph makes it a multiple of $55$ too, hence a multiple of $495.$

Since the odometer difference is at most a $3$ -digit number and $a \ge 1,$ the distance must be $495,$ so $c - a = 5.$

With $a \ge 1$ and $a+b+c \le 7,$ the only choice is $a=1,$ $c=6,$ $b=0.$ Then $a^2+b^2+c^2 = 1 + 0 + 36 = 37.$

Thus, the correct answer is D.

2014 AMC 12B 第 10 题

答案：D

难度评级：1680

小提示：

大提示：

解答：

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