1977 AMC 12 第 10 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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1977 AMC 12 第 10 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

10.

若 $(3x-1)^7=a_7x^7+a_6x^6+\cdots+a_0$ ，则 $a_7+a_6+\cdots+a_0$ 等于

If $(3x-1)^7=a_7x^7+a_6x^6+\cdots+a_0,$ then $a_7+a_6+\cdots+a_0$ equals

$0$

$1$

$64$

$-64$

$128$

答案：E

知识点：多项式换元法

难度评级：1440

小提示：

将多项式代入某个特定值即可得到其系数之和

A polynomial’s coefficient sum is obtained by evaluating it at a particular input

大提示：

在所给恒等式中代入 $x=1$

Substitute $x=1$ into the given identity

解答：

令 $x=1$ ，右边便成为所求的系数之和。因此 $\begin{aligned} a_7+a_6+\cdots+a_0 &=(3\cdot1-1)^7\\ &=2^7=128 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Setting $x=1$ makes the right side the desired coefficient sum. Thus $\begin{aligned} a_7+a_6+\cdots+a_0 &=(3\cdot1-1)^7\\ &=2^7=128. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

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